Integralgerenze a gesucht?

Question

Aufgabe:

was ist hier genau gefragt, a von der Integralgrenze zu bestimmen, kann man bitte dazu was sagen ?

Text erkannt:

Berechnen Sie das Integral \( I_{a}:=\int \limits_{a}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} \) in Abhängigkeit vom Parameter \( a>0 \) und nutzen Sie \( I_{a} \) für eine geeignete Wahl von \( a \) um eine obere Schranke an \( S:=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \) nachzuweisen. Hinweis: Man kann zum Beispiel die Schranke \( S \leq 2 \) nachweisen. Die Wahl einer konkreten Schranke, die Sie nachweisen möchten, ist Ihnen überlassen. Die Abschätzung lässt sich anhand der geometrischen Interpretation des Integrals und der Reihe als Flächen von Bereichen ableiten. Denken Sie an \( \frac{1}{k^{2}} \) mit \( k \geq 2 \) als Fläche des Balkens \( k-1 \leq x \leq k \), \( 0 \leq y \leq \frac{1}{k^{2}} \) im kartesischen Koordinatensystem.

ich wäre dankabar für die Hilfe !

Answer 1

Zuerst rechnest du \(\int_a^{\infty}\frac 1{x^2}\;dx = \frac 1a\) aus.

Nun sollst du das Integral im Vergleich mit folgender Reihe betrachten:

$$S = \sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^2}$$

Dabei sollst du mit Hilfe des Integrals eine obere Schranke für \(S\) finden.

Da \(\frac1{x^2}\) streng monoton fallend für \(x> 0\) ist erhältst du

$$S = \sum_{k=1}^{\infty}\frac 1{k^2} = 1+ \sum_{\color{blue}{k=2}}^{\infty}\int_{k-1}^{k}\frac1{k^2}dx$$ $$\leq 1+ \sum_{\color{blue}{k=2}}^{\infty}\int_{\color{blue}{k-1}}^{k}\frac1{x^2}dx=1+\int_{\color{blue}{1}}^{\infty}\frac 1{x^2}\;dx = 1+1=2$$

Damit ist zum Beispiel \(\boxed{ \color{blue}{a=1} }\) eine geignete untere Grenze, um eine obere Schranke für \(S\) zu finden.

Answer 2

\(\int \limits_{a}^{\infty} \frac{d x}{x^{2}} = \lim\limits_{b\to\infty}\int \limits_{a}^{b} \frac{d x}{x^{2}} = \lim\limits_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_a^b= \lim\limits_{b\to\infty}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\).