Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen M, N, O stets gilt:

Question

Aufgabe:

Für Mengen M, N definieren wir die symmetrische Differenz
M∆N := (M \ N) ∪ (N \ M).
Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen M, N, O stets gilt:
(a) M∆N = (M ∪ N) \ (M ∩ N)
(b) (M∆N)∆O = M∆(N∆O)
(c) M∆N = N∆M
(d) M∆N = ∅ ⇔ M = N

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht ob ich diese Aufgaben richtig gelöst habe und wäre sehr dankbar, wenn jemand schauen könnte, ob etwas falsch ist.

Danke im Voraus

a) M∆N = (M ∪ N) \ (M ∩ N)

M∆N = (M \ N) ∪ (M \ N)

M∆N = (M \ N) ∪ (M \ N) = (M ∪ N) \ N ∪ (N ∪ M) \ M

M∆N = (M ∪ N \ N) ∪ (N ∪ M \ M)

=> M∆N = (∅) ∪ (∅)

M∆N = ∅

da (M ∪ N)  \ (M ∩ N) = ∅ folgt M∆N = (M ∪ N)  \ (M ∩ N) = wahre Aussage.

b) (M∆N)∆O = M∆(N∆O)

(M∆N)∆O = ((M \ N) ∪ (N \ M))∆O

((M \ N) ∪ (N \ M))∆O = (((M \ N) ∪ (N \ M)) \ O) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M)))

Distributivgesetzt:

(((M \ N) ∪ (N \ M)) \ O) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) = ((M \ N \ O) ∪ (N \ M \ O)) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) =>

(M \ N \ O) ∪ (N \ M \ O) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) = (M \ (N ∪ O) ∪ N \ (M ∪ O)) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) =>

(M \ (N ∪ O) ∪ N \ (M ∪ O)) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) = (M∆(N∆O))

=> (M∆N)∆O = M∆(N∆O) wahre Aussage

c) M∆N = N∆M

M∆N = (M \ N) ∪ (N \ M)

=> (M \ N) ∪ (N \ M) = (N \ M) ∪ (M \ N) (weil kommutativ)

=> M∆N = N∆M wahre Aussage

d) M∆N = ∅ ⇔ M = N

1. M∆N = ∅ ⇒ M = N

Wenn M∆N = ∅ dann gibt es keine x, die (Element M und nicht Element N) oder (Element N und nicht Element M) sind.

=> M = N

2. M = N ⇒ M∆N = ∅

Wenn M und N ident sind => M∆N = ∅, da keine x die in der einen Menge aber nicht in der anderen Menge sind, existieren.

=> M∆N = ∅ ⇔ M = N wahre Aussage

Comments

Bei Deinem Lösungsvorschlag für b sehe ich nicht, wieso die letzt Gleichung gelten soll?

Answer 1

zu a) schau mal bei

https://www.mathelounge.de/55359/mengenoperationen-symmetrische-differenz-a-b-u-b-a

sonst ist es ganz ok.

Answer 2

(M ∪ N)  \ (M ∩ N) = ∅ 

Das stimmt nicht.

Zum Beispiel

    M = {1} ∧ N = ∅ ⇒ (M ∪ N) \ (M ∩ N) = {1} ≠ ∅.

folgt M∆N = (M ∪ N)  \ (M ∩ N)

Es ist nutzlos, dieses zu folgern, weil es laut Definition gilt.

= wahre Aussage.

Missbrauch des Gleichheitszeichens.

(M \ N \ O) ∪ (N \ M \ O) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M))) = (M \ (N ∪ O) ∪ N \ (M ∪ O)) ∪ (O \ ((M \ N) ∪ (N \ M)))

Das ist mir zu kompliziert.

=> (M \ N) ∪ (N \ M) = (N \ M) ∪ (M \ N)

Teil a) hätte ein paar ⇒ gebrauchen können, hier ist es aber unangebracht.

=> (M \ N) ∪ (N \ M) = (N \ M) ∪ (M \ N) (weil kommutativ)

Die Idee ist richtig, aber der ganze Beweis ist etwas chaotisch notiert.

\(\begin{aligned}&M \bigtriangleup N \\=\ & (M\setminus N)\cup (N\setminus M)\\=\ & (N\setminus M)\cup (M\setminus N) & \text{wegen Komutativität von }\cup\\=\ &N\bigtriangleup M\end{aligned}\)

Wenn M∆N = ∅ dann gibt es keine x, die (Element M und nicht Element N) oder (Element N und nicht Element M) sind.

Das wird als Beweis nicht reichen. Stattdessen:

Sei M∆N = ∅. Dann ist M\N = ∅ und N\M = ∅. Wegen M\N = ∅ ist M ⊆ N. Und so weiter.