Zeigen Sie, dass Q, R und S auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Question

Seien \( K \) und \( L \) zwei Kreise, die sich in genau zwei Punkten \( P \) und \( Q \) schneiden. Sei \( R \in K \), so dass \( P R \) ein Durchmesser von \( K \) ist, sowie \( S \in L \), so dass \( P S \) ein Durchmesser von \( L \) ist. Zeigen Sie, dass \( Q, R \) und \( S \) auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Hinweis: Hier muss ggf. eine Fallunterscheidung für die Lagebeziehung von \( R \) und \( S \) gemacht werden.

Answer 1

Grobe Beweisidee:

Das Dreieck \( QPR \) und das Dreieck \( PQS \) haben in \( Q \) einen rechten Winkel, da \( \overline{PR} \) bzw. \( \overline{PS} \) Durchmesser sind (Thaleskreis). Das bedeutet aber, dass die Strecken \(\overline{RQ} \) und \( \overline{QS} \) die Strecke \( \overline{PQ} \) in \( Q \) senkrecht schneiden. Daraus folgt, dass die Punkte \( R \), \( S \) und \( Q \) auf einer gemeinsamen Geraden liegen, nämlich auf jener Senkrechten durch \( Q \).

Comments

Kommentar zurückgezogen (Hatte etwas von der (in meiner Lösung auftauchenden) Strecke RS gelesen, in welchem Fall der Begriff "Gerade" oder die in der Aufgabenstellung erwähnte Fallunterscheidung erforderlichgewesen wäre)

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Ich wüsste nicht, warum das eine Relevanz hat. Ob ich nun die Strecken oder die Geraden betrachte, sollte egal sein. Ansonsten darfst du mich da gerne aufklären.

Answer 2

Kreis K: \(x^2+y^2=4\)

Kreis L: \((x-5)^2+y^2=16\) 

Kreis K:  \(f_K(x,y)=x^2+y^2-4\)

Kreis L: \(f_L(x,y)=x^2-10x+25+y^2-16=x^2-10x+y^2+9\)

\(f_L(x,y)-f_K(x,y)=-10x+13\)

\(-10x+13=0\)→ \(x=1,3\) ist die Gerade durch P und Q

Schnitt mit Kreis K:  \(1,3^2+y^2=4\)      → \(y_Q=1,52\)     \(y_P=-1,52\)

Koordinaten von R:\((-1,3|1,52)\)

\(M_2(5|0)\)

Gerade durch P M_2:\( \frac{0-(-1,52)}{5-1,3}=\frac{y-(-1,52)}{x-1,3} \)

 \( y=0,41x-2,05\)

Schnitt mit Kreis   L:   \((x-5)^2+(0,41x-2,05)^2=16\)    \(x=8,7\)

\(S(8,7|1,52)\)

Q\((1,3|1,52)\)   R\((-1,3|1,52)\)  S\((8,7|1,52)\)

Gemeinsame Gerade \(y=1,52\)

Comments

Dir ist hoffentlich klar, dass das kein allgemeingültiger Beweis ist und die Antwort damit eigentlich unbrauchbar, oder?

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Da steht : "Zeigen Sie, dass \( Q, R \) und \( S \) auf einer gemeinsamen Geraden liegen." Sonst muss es doch beweisen Sie heißen.

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Dein Ernst? Ein konkretes Beispiel tuts da dennoch nicht.

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Zeige doch mal, wie es richtig ist!