Partialbruchentwicklung des Cosecans

Question

Mit Hilfe der Partialbruchentwicklung

π/sin(πz)=1/z +2z∑∞_k=1 ((-1)^k/(z²-k²))    (z∈ℂ|ℤ)

des Cosecans lassen sich die uneigentlichen Integrale

I₁ =∫^∞₀ x^γ-1 /(1+x)  dx,  (γ∈(0,1))

und

I₂ =∫^∞₀ x^α-1 /(1+x^β)  dx,   (0<α<β)

ohne grosse Muhe berechnen.

Einen Einstieg finden Sie, indem Sie I₁ in I_1,1  =∫¹₀ x^γ-1 /(1+x)  dx, und

I_1,2 = ∫^∞₁ x^γ-1 /(1+x)  dx,  zerlegen, in I_1,2 die Substitution t =1/x vornehmen und in beiden Teilintegralen den Faktor

1/(1+x) in eine geometrische Reihe entwickeln