Polynom p, das durch Punkte (0,3), (1,5) und (-2,3) geht. Dann Nullstellen von p und p auf Scheitelpunktform bringen

Question

Polynom p, das durch Punkte (0,3), (1,5) und (-2,3) geht. Dann Nullstellen von p und p auf Scheitelpunktform bringen

3 Antworten

Ein anderes Problem?

Johann Ribert · Answer 1 · 2013-04-23T13:22:57+0000

1. Parameterbestimmung:
Man stellt drei lineare Gleichungen auf um die 3 Parameter der quadratischen Gleichung zu bestimmen.

Par

2. Polynom:
y = -x^2 - x + 5;

3. Nullstellen:
Aus Lösungsformel für quadratische Gleichungen ->
x_0;1= 21^{1/2}/2 - 1/2
x_0;2= - 21^{1/2}/2 - 1/2

4. Scheitelpunktform:
Über quadratisches Erweitern
y = (-1) * (x+0,5)^2 + 5,25;

Moliets · Answer 2 · 2025-04-19T14:31:21+0000

Finden Sie ein Polynom $p(x)$, welches durch die Punkte A$(0|3)$, B$(1|5)$ und C$(-2|3)$ geht.

Ich verschiebe alle Punkte um 3 Einheiten nach unten:

A´$(0|0)$, B´$(1|2)$ und C´$(-2|0)$ geht.

A und C liegen nun beide auf der x-Achse. → Nullstellenform der Parabel.

$f(x)=ax(x+2)$

B´$(1|2)$:

$f(1)=a(1+2)=3a=2$

$a=\frac{2}{3}$:

$f(x)=\frac{2}{3}x(x+2)$

um 3 Einheiten nach oben:

$p(x)=\frac{2}{3}x(x+2)+3$

Nun noch auf die Scheitelpunktform bringen.

Die Nullstellen sind nicht in ℝ.

Zum Vergleich:

Finden Sie ein Polynom $p(x)$, welches durch die Punkte A$(0|3)$, B$(1|5)$ und C$(-2|3)$ geht.

$p(x)=ax^2+bx+c$

A$(0|3)$:

$p(0)=c$

1.) $c=3$

B$(1|5)$

$p(1)=a+b+c$

2.) $a+b+c=5$

C$(-2|3)$:

$p(-2)=4a-2b+c$

3.) $4a-2b+c=3$

1.) in 2.) und 3.) einsetzen:

2.) $a+b+3=5$→ 2.) $a+b=2$ → 2.) $b=2-a$

3.) $4a-2b+3=3$ → 3.) $4a-2b=0$ → 3.) $2a-b=0$ → 3.) $b=2a$

2.)=3.) $2-a=2a$ → $2=3a$ → $a=\frac{2}{3}$ und $b=\frac{4}{3}$

$p(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3$

______________________________-

Nullstellen von $p$

$\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3=0|\cdot \frac{3}{2}$

$x^2+2x+4,5=0|-4,5$

$x^2+2x=-4,5$ quadratische Ergänzung:

$x^2+2x+1=-4,5+1=-3,5$ 1.Binom:

$(x+1)^2=-3,5$ Hier gibt es nun keine Lösungen in ℝ

Scheitelpunktform:

$y=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3 |:\frac{2}{3}$

$\frac{y}{\frac{2}{3}}=x^2+2x+4,5 |-4,5$

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-4,5=x^2+2x $ quadratische Ergänzung:

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-4,5+1=x^2+2x+1 $ 1. Binom:

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-3,5= (x+1)^2|+3,5 $

$\frac{y}{\frac{2}{3}}= (x+1)^2+\frac{7}{2} |\cdot \frac{2}{3} $

$y= \frac{2}{3}(x+1)^2+\frac{7}{3} $

S$(-1|\frac{7}{3}) $

Beantwortet vor 1 Tag von Moliets

Verfahren Sie wie oben, jedoch mit den Punkten A$(\red {-1}|\blue {5})$, B$(2|-1)$ und C $(1|3)$

Finden Sie ein Polynom $p(x)$:

Für ein Polynom 2.Grades benötigt manr immer 3 Angaben. Die sind da.
Die allgemeine Form für dieses Polynom lautet:
$p(x)=ax^2+bx+c$
Die 3 Faktoren a,b und c lassen sich wie folgt berechnen:
$p(\red {-1})=a\cdot (\red {-1})^2+b\cdot (\red {-1})+c=a-b+c$
1.)
$a-b+c=\blue {5}$
B$(2|-1)$:
$p(2)=a\cdot (2)^2+b\cdot (2)+c=4a +2b+c$
2.)
$4a +2b+c=-1$
C $(1|3)$:
$p(1)=a\cdot (1)^2+b\cdot (1)+c=a+b+c$
3.)
$a+b+c=3$
Nun ziehe ich die 3. Gleichung von der 1.) ab:
$a-b+c=\blue {5}$
$-(a+b+c=3)$
.............................
$-2b=2$ → $b=-1$
Nun setze ich $b=-1$ in 1.) $a-b+c=\blue {5}$:
1.) $a+c=4$
$b=-1$ in 2.) eingesetzt:
2.) $4a+c=1$
2.) -1) $a=-1$
3.)
$a+b+c=3$ → $-1-1+c=3$→$c=5$
Die Polynomfunktion lautet somit:
$p(x)=-x^2-x+5$

Scheitelpunktform:

$p(x)-5=-x^2-x|\cdot (-1)$

$-p(x)+5=x^2+\red{1}x$ quadratische Ergänzung $+(\frac{\red{1}}{2})^2$

$-p(x)+5+(\frac{\red{1}}{2})^2=x^2+\red{1}x+(\frac{\red{1}}{2})^2$ 1.Binom:

$-p(x)+5,25=(x+\frac{\red{1}}{2})^2|\cdot (-1)$

$p(x)-5,25=-(x+\frac{\red{1}}{2})^2|+5,25$

$p(x)=-(x+\frac{\red{1}}{2})^2+5,25$

Nullstellen:

$-(x+\frac{\red{1}}{2})^2+5,25=0|-5,25$

$-(x+\frac{1}{2})^2=-5,25|\cdot (-1)$

$(x+\frac{1}{2})^2=5,25|±\sqrt{~~}$
1.)

$x+\frac{1}{2}=\sqrt{5,25}$

$x_1=-0,5+ \sqrt{5,25}$

2.)

$x+\frac{1}{2}=-\sqrt{5,25}$

$x_2=-0,5- \sqrt{5,25}$

Scheitelstellen kann man auch über die beiden Nullstellen finden:

$x_S= \frac{-0,5+ \sqrt{5,25}+(-0,5- \sqrt{5,25}}{2})=-0,5 $

Kommentiert vor 1 Tag von Moliets

Du willst doch nur krampfhaft deine komplexen Zahlen begründen…

Tja, wenn eine Antwort schlecht ist, versucht man eben die Aufgabenstellung anzupassen. Gab es hier doch auch schon häufiger.

Nur weil eine Aufgaben lautet "Bestimmen Sie die Nullstellen...", heißt es noch lange nicht, dass nur reelle Nullstellen existieren. Insofern ist an der Aufgabenstellung und auch an den angegebenen Punkten nichts auszusetzen. Nach wie vor aber an der Antwort, denn - wie schon oben erläutert, was aber selbstverständlich ignoriert wird - sind im schulischen Bereich stets reelle Nullstellen gemeint.

Wird fortgesetzt.

Wenn du deine Ausführungen sowieso nicht zu Ende bringst, dann lass es doch einfach bleiben. Kommentare lassen sich nämlich nicht ewig lang bearbeiten.

Kommentiert vor 20 Stunden von Apfelmännchen

3XL · Answer 3 · 2025-04-20T17:31:32+0000

Ich schlage folgende Antwort vor:

$$ p(x) = -\frac{2}{3} x^4 + \frac{8}{3} x^2 +3 $$

Für das Polynom gilt $ p(0) = 3 $, $ p(1) = 5 $ und $ p(-2) = 3 $ Es erfüllt also die Bedingungen der Fragestellung.

Die Nullstellen kann man mittels der Substituion von $ z = x^2 $ und der daraus folgenden quadratischen Gleichung für $ z $ berechnen.

Daraus folgen dann auch noch komplexe Nullstellen. Somit hat Moliets auch seine Ruhe. Und die anderen didaktisch geschulten Kommentatoren können sich darüber bestens streiten, ob das im Lehrplan steht oder nicht. Vielleicht noch nach Bundesländer getrennt. Denn Bildungspolitik ist ja Ländersache. Und natürlich auch darüber, ob diese Lösung Schülergerecht ist.

Eine Scheitelpunktsform gibt es hier natürlich nicht.

Und dann würde ich noch folgendes vorschlagen um das Forum konstruktiv zu beleben:

Es sollte eine spezielle Moliets Bashing Gruppe gegründet werden, natürlich nur mit vorher bestandenem Eignungstest der potentiellen Mitglieder. Aber da gibt es ja einige geeignete Kandidaten.

Und eine andere Gruppe sollte diskutieren was didaktisch sinnvoll und, selbstredend, schülerfreundlich ist. Diese Gruppe hat dann natürlich auch Vetorecht für eingereichte Antworten.

Was haltet ihr davon?

Polynom p, das durch Punkte (0,3), (1,5) und (-2,3) geht. Dann Nullstellen von p und p auf Scheitelpunktform bringen

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