Folge rekursiv definieren und beweisen

Question

oben seht ihr die Aufgabe. Wie kann ich aus den angegebenen Voraussetzungen eine rekursiven Folge definieren und diese beweisen? (ii) und (iii) sollten klar sein, wenn die Folge definiert und bewiesen wurde.

Danke und Gruß

Comments

"Wie kann ich aus den angegebenen Voraussetzungen eine rekursiven Folge definieren und diese beweisen?"

Die Folge ist schon definiert, wie steht ja auf dem Zettel; da bleibt für Dich nichts mehr zu tun. Dass rekursive Definitionen von Folgen funktionieren, sollte klar sein; da ist ebenfalls nichts mehr von Dir zu beweisen.

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Ok, ich merke grad, dass ich mich nicht klar ausgedrückt habe. Mit dem ersten Teil bin ich einverstanden. Ich dachte in meinen ersten Gedanken daran, mit den Voraussetzungen die angegebene Folge zu definieren. Was ich mit beweisen explizit meine ist die Aufgabe (i). Dort soll ja gezeigt werden, dass die Folge für alle n aus N gilt.  Mir ist aber nicht klar, wie ich die Bernoullische Ungleichung da mit einbauen soll.

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"Dort soll ja gezeigt werden, dass die Folge für alle n aus N gilt."

Was soll das heissen? x₀ ist vorgegeben, x₁ wird dann nach Vorschrift aus x₀ berechnet, dann x₂ aus x₁, dann x₃ aus x₂, usw. Es liegt also bereits eine Folge (x₀, x₁, x₂, x₃, ...) vor. Das ist die Ausgangslage.

Nunn sollst Du zeigen, dass für alle Glieder x_n dieser Folge die Ungleichung in (i) gilt. Das ist Deine erste Aufgabe.

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Ah, ok. Jetzt versteh ich die Aufgabe erst richtig. Jedoch hilft mir das auch nicht weiter. Wie wende ich die Ungleichung denn auf die Folge an?

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"Wie wende ich die Ungleichung denn auf die Folge an?"

Gar nicht. Man kann eine Ungleichung nur auf Zahlen anwenden, nicht auf eine Folge. Die Bernoulli-Ungleichung soll also auf die Folgenglieder angewandt werden.

Wenn man eine Folge rekursiv definiert, hat man das Induktionsprinzip zu einem Konstruktionsprinzip gemacht. Es ist naheliegend, dass man dann Aussagen ueber solche Folgen ebenfalls mit dem Induktionsprinzip behandelt, sprich: Aussagen ueber rekursiv definierte Folgen werden mit vollstaendiger Induktion bewiesen.

Hier waere also zu zeigen:

a) \(x_0^p\ge a\)

b) \(x_n^p\ge a\Rightarrow x_{n+1}^p\ge a\)

Daraus wuerde dann bekanntlich \(x_n^p\ge a\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) folgen, also genau das, was bei (i) zu zeigen ist.

Answer 1

zu (i) hast du doch einen Tipp: Also los:

$$ {{ x }_{ n+1}}^p $$ wegen der Rekursion
$$= {({ x }_{n }-\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { p*{ x }^{p-1} })}^p $$
$$= {({ x }_{n }*(1-\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { p{ x }^{p} }))}^p $$
$$= {({ x }_{n }*(1+\frac { -1 }{ p }*\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { { x }^{p} }))}^p $$
$$= {{ x }_{n }^p*(1+\frac { -1 }{ p }*\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { { x }^{p} })}^p $$
 Dann Bernoulli
$$ ≥ {{ x }_{n }^p*(1+p*\frac { -1 }{ p }*\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { { x }^{p} })} $$

$$ = {{ x }_{n }^p*(1-\frac {{ { x }_{ n}^p}-a} { { x }^{p} })} $$
$$ = {{ x }_{n }^p-({ { x }_{ n}^p}-a)} $$
$$ = a $$

Falls die Folge einen Grenzwert g hat, gehen ja x_n und x_n+1 gegen g

also wegen der Rekursion

g = (g - (g^p - a) / ( p * g ^p-1 ) 

0 =  g^p - a

also g = p-te Wurzel aus a.

Comments

Ok, vielen Dank. Hat mir echt weitergeholfen!

Jetzt stehe ich aber vor einem weiteren Problem beim Aufgabenteil (ii). Ich komme bei der Bestimmung der Monotonie nicht weiter. Ich soll ja zeigen, dass dir Folge monoton fallend ist:

$${ x }_{ n+1 }-{ x }_{ n }<0$$

$$=\quad { x }_{ n }-\frac { { x }_{ n }^{ p }-a }{ p{ x }_{ n }^{ p-1 } } \quad <{ \quad x }_{ n-1 }-\frac { { x }_{ n-1 }^{ p }-a }{ p{ x }_{ n-1 }^{ p-1 } } $$

Wie gehe ich jetzt am besten vor?

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Die Antwort ist nicht komplett. Die Aussage ist per vollstaendiger Induktion zu beweisen. Per Induktionsvoraussetzung ist nachzuweisen, dass die Bernoulli-Ungleichung im Induktionsschritt ueberhaupt verwendet werden kann.

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Das kann man jetzt leicht sehen.  Weil (x_0)^p größer als a ist und der Nenner positiv ist, weil p und x_0 positiv sind, wird etwas Nichtnegatives von x_n abgezogen. Deshalb ist x_n+1 immer kleiner als x_n.