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Ich schaue mir gerade den Beweis des bin. Lehrsatzes mit der vollständigen Induktion an. Bisher konnte ich alles nachvollziehen, bis auf die Addition von zwei Binomialkoeffizienten:

$$ (\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix})\quad +\quad (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}) $$

Zur Hilfe wurde uns das Lemma:

$$ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix})\quad +\quad (\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix})\quad $$

gegeben. Nun meine Frage, wie formt man derartige Gleichungen um, oder muss man sich dabei der Gleichung n über k = n!/(k!(n-k)!) bedienen?

Ein kleiner Denkanstoß von euch wäre nett. Vielen Dank :)

Avatar von 8,7 k

Die obere und die untere Gleichung sind schon mal äquivalent.

3 Antworten

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Beste Antwort

Du brauchst doch in der 2. Gleichung n durch n+1 zu ersetzen,

dann ist alles fertig.

Avatar von 289 k 🚀

Ah okay, habe den Wald nicht gesehen :) Danke und sorry, dass die Frage dreimal kam, mir wurde immer bei Absendung der Frage eine Fehlermeldung gezeigt. Habe ich aber bereist geschlossen. Danke war echt leichter als gedacht :)!

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wenn das Lemma bereits vorgegeben ist, dann brauchst du in der unteren Formel nur n-1 durch n ersetzen. Dann steht die obere Formel direkt da.

Das Lemma kann mit der Definition des Binomial-koeffizienten hergeleitet werden.

Avatar von 37 k

Danke, ist ja leichter als gedacht. Eure Augen sind anscheinend besser :)

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es ist

\( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

\( = \frac{n! k + n! (n-k+1)}{k! (n-(k-1))!} \)

\( = \frac{n!(n+1)}{k! (n-(k-1))} \)

\( = \frac{(n+1)!}{k! (n+1-k)!} = \binom{n+1}{k} \).

Auf gleiche Weise lässt sich der Beweis für das Lemma (die untere Formel) führen.

Mister

Avatar von 8,9 k

Dankeschön Mister für die gute Ergänzung :)

Vervollständigung wäre wohl der geeignetere Begriff.

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