Umformen einer Gleichung mit Binomialkoeffizient

Question

Ich schaue mir gerade den Beweis des bin. Lehrsatzes mit der vollständigen Induktion an. Bisher konnte ich alles nachvollziehen, bis auf die Addition von zwei Binomialkoeffizienten:

$$ (\begin{matrix} n \\ k-1 \end{matrix})\quad +\quad (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} n+1 \\ k \end{matrix}) $$

Zur Hilfe wurde uns das Lemma:

$$ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})\quad =\quad (\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix})\quad +\quad (\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix})\quad $$

gegeben. Nun meine Frage, wie formt man derartige Gleichungen um, oder muss man sich dabei der Gleichung n über k = n!/(k!(n-k)!) bedienen?

Ein kleiner Denkanstoß von euch wäre nett. Vielen Dank :)

Comments

Die obere und die untere Gleichung sind schon mal äquivalent.

Answer 1

Du brauchst doch in der 2. Gleichung n durch n+1 zu ersetzen,

dann ist alles fertig.

Comments

Ah okay, habe den Wald nicht gesehen :) Danke und sorry, dass die Frage dreimal kam, mir wurde immer bei Absendung der Frage eine Fehlermeldung gezeigt. Habe ich aber bereist geschlossen. Danke war echt leichter als gedacht :)!

Answer 2

wenn das Lemma bereits vorgegeben ist, dann brauchst du in der unteren Formel nur n-1 durch n ersetzen. Dann steht die obere Formel direkt da.

Das Lemma kann mit der Definition des Binomial-koeffizienten hergeleitet werden.

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Danke, ist ja leichter als gedacht. Eure Augen sind anscheinend besser :)

Answer 3

es ist

\( \binom{n}{k-1} + \binom{n}{k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-(k-1))!} + \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

\( = \frac{n! k + n! (n-k+1)}{k! (n-(k-1))!} \)

\( = \frac{n!(n+1)}{k! (n-(k-1))} \)

\( = \frac{(n+1)!}{k! (n+1-k)!} = \binom{n+1}{k} \).

Auf gleiche Weise lässt sich der Beweis für das Lemma (die untere Formel) führen.

Mister

Comments

Dankeschön Mister für die gute Ergänzung :)

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Vervollständigung wäre wohl der geeignetere Begriff.