Steckbriefaufgabe: Die Funktion f(x)=ax+b/x hat im Punkt P(2/4) eine waagrechte Tangente.

Question

Die Funktion f(x)=ax+b/x hat im Punkt P(2/4) eine waagrechte Tangente.

Die Polynomfunktion g(x) ist vom Grad 3 und hat ihren Wendepunkt im Ursprung

Außerdem berührt sie f(x) in deren Extrempunkten.

a.) Wie lauten beide Funktionen??

b.) Diskutiere die beiden Funktionen f(x) = x+4/x und g(x) = - x³/4 +3x und zeichne die Graphen im Intervall [ -4:4]


c.) Wie groß ist der Flächeninhalt, den die schräge Asymptote von f(x) mit g(x) einschließt ?? [A= 8FE]

Answer 1

f(x) = ax + b/x hat im Punkt P(2/4) eine waagrechte Tangente.

f(2) = 4
2·a + b/2 = 4

f'(2) = 0
a - b/4 = 0

Die Lösung des LGS ist a = 1 ∧ b = 4

f(x) = x + 4/x


Extremstellen

f'(x) = 0
1 - 4/x^2 = 0
x = +- 2

f(-2) = (-2) + 4/(-2) = -4
f(2) = (2) + 4/(2) = 4

Comments

g(x) ist vom Grad 3 und hat ihren Wendepunkt im Ursprung

Da eine Funktion 3. Grades symmetrisch zum Wendepunkt ist können wir schreiben

g(x) = ax^3 + bx

Außerdem berührt sie f(x) in deren Extrempunkten. 

g(2) = 4
8·a + 2·b = 4

g'(2) = 0
12·a + b = 0

Die Lösung des LGS ist a = - 1/4 ∧ b = 3

g(x) = -1/4·x^3 + 3·x

Skizze der Funktionen

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Probierst du den Rest zunächst mal alleine? Ist ja eine einfache Kurvendiskussion und Flächenberechnung.

Asymptote sollte x sein, da 4/x für große x gegen Null geht.

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die Skizze gehört zu einem anderen Beispiel denke ich

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ist punktsymmetrisch dasselbe wie symmetrisch ode wo liegt der unterschied

punktsymmetrisch sind nur ungerade Zahlen

muss ich f(x) - g(x) berechnen um die Fläche zu bekommen?? Ich benötige auch die Wendepunkte oder?

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Warum denkst du das ?

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Auf meinem Lösungsblatt schaut sie anders aus

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Eine Symmetrie kann beliebig sein. Es kann eine Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie sein. Aber eine Symmetrie zum Wendepunkt ist immer eine Punktsymmetrie.

Daher brauche ich dort die Punktsymmetrie nicht nochmals nennen.

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Vielleicht kannst du dann ja mal die Lösung fotografieren oder scannen?

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und was heißt Wendepunkt im Ursprung? bezieht sich das auf die Punktsymmetrie ?

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Wendepunkt im Ursprung sind erstmal genau genommen für sich nur die Bedingungen

f(0) = 0 und f''(x) = 0

Den Rest mit der Symmetrie interpretiert man wenn man weiß das eine Funktion 3. Grades symmetrisch zum Wendepunkt ist.

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diese Bedingung haben wir aber nicht verwendet ,oder ?

Für die Fläche berechnne ich

 d(x)= f(x)-g(x)

d(x)= x+4/x-(-x³/4 +3x) = ich kann das leider nicht ausrechnen verändert sich die ganze Klammer wegen den beiden minuse ?

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Du solltest dir die Grundlagenvideos von Matheretter mal ansehen

https://www.matheretter.de/mathe-videos

Besonders vielleicht das zum Distributivgesetz