Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von X.
Du musst erst mal zeigen, dass alle diese Teilmengen mit der sym. Diff. als Addition
eine Gruppe bilden:
Also 1. Abgeschlossenheit: Die symm. Diff. zweier Teilmengen von X ist
wieder eine Teilmenge von X. fertig!
2. Assoziativität (brauchst du nicht)
3. neutral. Element . Suche also eine Teilmenge e von X, so dass für alle
Teilmengen M von X gilt e+M = M+e = M
e+M = ( e∪M) \ ( e∩M ) und das soll gleich M sein.
Klappt mit e = ∅ ; denn ( ∅∪M) \ ( ∅∩M ) = M \ ∅ = M
ebenso M+e = M .
Dann zu jedem M ein inverses Element, also ein N mit N+M = ∅
( N∪M) \ ( N∩M ) = ∅
Das klappt mit N = M . Jedes El. ist also zu sich selbst invers.
Und jetzt noch alle anderen Ringaxiome prüfen.
