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Ich habe folgende Aufgabe ... ich weiß nicht wie ich es zu zeigen habe . Ein kommutativer Ring hat Jaa die Eigenschaft kommutativ zu sein . Nur mich verwirrt die potenzmenge irgendwie . Kann mir bitte jemand dabei helfen ? Sitze seit Tagen schon dran :/Bild Mathematik

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Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von X.

Du musst erst mal zeigen, dass alle diese Teilmengen mit der sym. Diff. als Addition

eine Gruppe bilden:

Also 1. Abgeschlossenheit:  Die symm. Diff. zweier Teilmengen von X ist

wieder eine Teilmenge von X. fertig!

2. Assoziativität (brauchst du nicht)

3. neutral. Element  . Suche also eine Teilmenge e von X, so dass für alle

Teilmengen M von X gilt   e+M = M+e = M

e+M = (  e∪M) \  (  e∩M ) und das soll gleich M sein.

Klappt mit e = ∅ ;  denn (   ∅∪M) \  (   ∅∩M ) = M \  ∅  = M

ebenso  M+e = M .

Dann zu jedem M ein inverses Element, also ein N mit N+M =  ∅

(  N∪M) \  (  N∩M )  =  ∅

Das klappt mit N = M . Jedes El. ist also zu sich selbst invers.

Und jetzt noch alle anderen Ringaxiome prüfen.

                      

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Können Sie mir dabei helfen den Beweis formell richtig aufzuschreiben ? Dabei habe ich Schwierigkeiten

Mach mal einen Vorschlag zu einem der Axiome. Den können wir ja ggf. korrigieren.

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