ich soll in der Vorlesung Algebra die folgende Aussage beweisen.
Sei K ein Körper, n ∈ N und A = (aij) i,j =1 ,...,n ∈ Mat( n × n, K )
a) Wenn n ungerade ist und aij=-aji für alle i,j ∈ (1,...,n) dann ist A nicht invertierbar. Gildt die Aussage auch für den Fall, dass n gerade ist?
b) Sei K = Q und A invertierbar mit aij ∈ ℤ für alle i, j ∈ {1 , ..., n} . Dann gilt det(A) ∈{1 ,−1} genau dann, wenn alle Einträge der Matrix A−1 in ℤ liegen
c) Für die Matrix B = (b ij) i,j =(1 ,...,n) mit b 9ij := (−1) i+j aij gilt: det( B ) = det( A ).
Also zu a) dass die Aussage nicht gilt. Für n=2 haben wir die schiefsymmetrische Matrix A=(0 a
-a 0 )
und es ist det A=a2 ≠0. Doch reicht das schon als Beweis oder wie zeigt man das sonst mit vollständiger Induktion?
c) hätte ich mit dem Laplace Entwicklungssatz gemacht doch da komme ich auch nicht weiter.
Kann mir jemand weiterhelfen?