n gerade und aij=-aji. ist A invertierbar?

Question

ich soll in der Vorlesung Algebra die folgende Aussage beweisen.

Sei K ein Körper, n ∈ N und A = (a_ij) i,j =1 ,...,n ∈ Mat( n × n, K )

a) Wenn n ungerade ist und a_ij=-a_ji für alle i,j ∈ (1,...,n) dann ist A nicht invertierbar. Gildt die Aussage auch für den Fall,  dass n gerade ist?

b) Sei K = Q und A invertierbar mit a_ij ∈ ℤ für alle i, j ∈ {1 , ..., n} . Dann gilt det(A) ∈{1 ,−1} genau dann, wenn alle Einträge der Matrix A⁻¹ in ℤ liegen

c) Für die Matrix B = (b ij) i,j =(1 ,...,n) mit b 9ij := (−1) ^i+j a_ij gilt: det( B ) = det( A ).

Also zu a) dass die Aussage nicht gilt. Für n=2 haben wir die schiefsymmetrische Matrix A=(0  a

                                                                                                                                               -a  0 )

und es ist det A=a² ≠0. Doch reicht das schon als Beweis oder wie zeigt man das sonst mit vollständiger Induktion?

  c) hätte ich mit dem Laplace Entwicklungssatz gemacht doch da komme ich auch nicht weiter.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Für a siehe

https://www.mathelounge.de/538287/wenn-ungerade-ist-und-alle-gilt-dann-ist-nicht-invertierbar

Answer 1

Hallo Alberto.

Teilaufgabe a: 

Die Matrix
(0  a)
(-a 0)
ist für a <> 0 invertierbar, also gilt die Behauptung nicht.

Um zu zeigen, dass eine Behauptung nicht gilt, reicht ein einziges Gegenbeispiel, und wir sind fertig.

Teilaufgabe b: 

Siehe Bild.

Teilaufgabe c:

Siehe Bilder.  Dein Ansatz ist gut, Laplace Entwicklungssatz.  Ich habe für n = 5 gezeigt, dass det(A) = det(B).  Linke Spalte, det(A).  Rechte Spalte, det(B).  Hierbei gehe ich davon aus, dass der Satz für n = 4 gilt (Beweis durch vollständige Induktion).  Wenn in einer Matrix eine Zeile mit a multipliziert wird, dann führt das dazu, dass die Determinante der neuen Datei um das a-fache größer wird.  Hier bei mir ist a = -1.  Ich weiß, das, was du siehst, ist kein perfekter Beweis, aber die Idee dazu, die noch formalisiert werden müsste.  Jedenfalls ist daraus einsichtig, dass der Satz korrekt ist.