0 Daumen
1,1k Aufrufe

Aufgabe:

Prüfen Sie mit dem Minimalpolynom, ob die Matrix über R (=reelle Zahlen) und/oder über C (=komplexe Zahlen) diagonalisierbar ist.


Matrix:

2020
0-1-1-1
-30-20
2221

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hm,

vielleicht erstmal was übersichtlicheres. Dazu brauchen wir die Eigenwerte und die algebraische und geometrische Vielfachheit.

Mit dem Link in Deiner anderen Frage erhalte ich

det(A- l E)=\(\small \left|\begin{array}{rrrr}-\ell + 2&0&2&0\\0&-\ell - 1&-1&-1\\-3&0&-\ell - 2&0\\2&2&2&-\ell + 1\\\end{array}\right|=0\)

und (A- l E) E(1,3,2/(l-2)) E(4,3,-1) E(2,4,-1/(l+1))

\(\small \left|\begin{array}{rrrr}-\ell + 2&0&0&0\\0&-\ell - 1&0&0\\-3&0&\frac{-\ell^{2} - 2}{\ell - 2}&0\\2&2&\frac{\ell^{2} - \ell + 2}{\ell - 2}&\frac{-\ell^{2} - 1}{\ell + 1}\\\end{array}\right|=0\)

===>l^4 + 3 * l^2 + 2 = 0 ===>

\(\small Eigenwerte \, :=  \,  \left\{ ί, -ί, ί \; \sqrt{2}, -ί \; \sqrt{2} \right\} \)


\(\small DimEigenraum \, := n -Rang(A - l_i E) = \,  \left\{ 1, 1, 1, 1 \right\} \)

===> diagonalisierbar über ℂ

Avatar von 21 k

Danke,


ich weiß, dass die Matrix diagonalisierbar ist, wenn algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit.


Aber ich weiß nicht, wie ich das mit dem Minimalpolynom machen soll :(

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms. |A- l E|=0 hat Grad 4. Also hat auch das Minimalpolynom Grad 4 und aufgrund der Normiertheit muss es gleich dem charakteristischen Polynom sein.

Ansonsten kannst Du ja die Linearfaktoren aus der Determinante ablesen und prüfen, ob eines davon einen kleineren Teiler abgibt?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community