Prüfen Sie mit dem Minimalpolynom, ob die Matrix über R und/oder über C diagonalisierbar ist.

Question

Aufgabe:

Prüfen Sie mit dem Minimalpolynom, ob die Matrix über R (=reelle Zahlen) und/oder über C (=komplexe Zahlen) diagonalisierbar ist.

Matrix:

2	0	2	0
0	-1	-1	-1
-3	0	-2	0
2	2	2	1

Answer 1

Hm,

vielleicht erstmal was übersichtlicheres. Dazu brauchen wir die Eigenwerte und die algebraische und geometrische Vielfachheit.

Mit dem Link in Deiner anderen Frage erhalte ich

det(A- l E)=\(\small \left|\begin{array}{rrrr}-\ell + 2&0&2&0\\0&-\ell - 1&-1&-1\\-3&0&-\ell - 2&0\\2&2&2&-\ell + 1\\\end{array}\right|=0\)

und (A- l E) E(1,3,2/(l-2)) E(4,3,-1) E(2,4,-1/(l+1))

\(\small \left|\begin{array}{rrrr}-\ell + 2&0&0&0\\0&-\ell - 1&0&0\\-3&0&\frac{-\ell^{2} - 2}{\ell - 2}&0\\2&2&\frac{\ell^{2} - \ell + 2}{\ell - 2}&\frac{-\ell^{2} - 1}{\ell + 1}\\\end{array}\right|=0\)

===>l^4 + 3 * l^2 + 2 = 0 ===>

\(\small Eigenwerte \, :=  \,  \left\{ ί, -ί, ί \; \sqrt{2}, -ί \; \sqrt{2} \right\} \)

\(\small DimEigenraum \, := n -Rang(A - l_i E) = \,  \left\{ 1, 1, 1, 1 \right\} \)

===> diagonalisierbar über ℂ

Comments

Danke,

ich weiß, dass die Matrix diagonalisierbar ist, wenn algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit.

Aber ich weiß nicht, wie ich das mit dem Minimalpolynom machen soll :(

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Nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist das Minimalpolynom ein Teiler des charakteristischen Polynoms. |A- l E|=0 hat Grad 4. Also hat auch das Minimalpolynom Grad 4 und aufgrund der Normiertheit muss es gleich dem charakteristischen Polynom sein.

Ansonsten kannst Du ja die Linearfaktoren aus der Determinante ablesen und prüfen, ob eines davon einen kleineren Teiler abgibt?