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Aufgabe:

Ein Trog hat die nachstehend abgebildete Gestalt (Maße in Meter).

Es fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit 10 l pro Minute ein.

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1) Stelle eine Formel aut, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) im Trog zuordnet.

2) Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 15 min?

3) Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 0,5 m hoch steht?

4) Wie schnell steigt das Wasser, wenn sich im Trog gerade 1000 I befinden?


Die Ergebnisse lauten: 1)h(t)=Wurzel(t)/10, 2)~0,013m/min, 3)0,01m/min, 4)0,005m/min...

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Es fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit \(v\) pro Minute ein.

Vür das Wasservolumen \(V(t)\) im Trog gilt deshalb

(1)        \(V(t) = vt\).

Stelle eine Formel aut, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) im Trogzurentell

Das Wasser hat die Form eine Prismas mit Grundfläche \(G(t)\) und Höhe

(2)        \(h_P=2\).

Die Grundfläche ist ein Dreieck mit Höhe \(h(t)\) und Grundseite \(g(t)\), also

(3)        \(G(t) = \frac{1}{2}g(t)h(t)\).

Mittels Strahlensätzen bekommt man

        \(\frac{g(t)}{h(t)} = \frac{1}{1}\)

und somit

(4)        \(g(t) = h(t)\).

Einsetzen von (4) in (3) ergibt

(5)        \(G(t) = \frac{1}{2}\left(h(t)\right)^2\).

Laut Volumenform für Prismen ist

(6)        \(V(t)=G(t)\cdot h_P\).

Einsetzen von (2) und (5) in (6) ergibt

        \(V(t)=\frac{1}{2}\left(h(t)\right)^2 \cdot 2\)

und somit

(7)        \(V(t)=\left(h(t)\right)^2\).

Gleichsetzen von (1) und (7) ergibt

(8)        \(\left(h(t)\right)^2 = vt\).

Löse (8) nach \(h(t)\) auf.

Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 15 min?

\(h'(15)\)

Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 0,5 m hoch steht?

\(h'\left(t_0\right)\), wobei \(t_0\) die Lösung der Gleichung \(h(t) = 0,5\) ist.

Wie schnell steigt das Wasser, wenn sich im Trog gerade 1000 I befinden?

\(h'\left(t_1\right)\), wobei \(t_1\) die Lösung der Gleichung \(V(t) = 1\) ist (N.B. 1000 l = 1 m3).

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Vielen Dank, hab es verstanden!

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