Es fließt Wasser mit der konstanten Zuflussgeschwindigkeit \(v\) pro Minute ein.
Vür das Wasservolumen \(V(t)\) im Trog gilt deshalb
(1) \(V(t) = vt\).
Stelle eine Formel aut, die jedem Zeitpunkt t die Wasserhöhe h(t) im Trogzurentell
Das Wasser hat die Form eine Prismas mit Grundfläche \(G(t)\) und Höhe
(2) \(h_P=2\).
Die Grundfläche ist ein Dreieck mit Höhe \(h(t)\) und Grundseite \(g(t)\), also
(3) \(G(t) = \frac{1}{2}g(t)h(t)\).
Mittels Strahlensätzen bekommt man
\(\frac{g(t)}{h(t)} = \frac{1}{1}\)
und somit
(4) \(g(t) = h(t)\).
Einsetzen von (4) in (3) ergibt
(5) \(G(t) = \frac{1}{2}\left(h(t)\right)^2\).
Laut Volumenform für Prismen ist
(6) \(V(t)=G(t)\cdot h_P\).
Einsetzen von (2) und (5) in (6) ergibt
\(V(t)=\frac{1}{2}\left(h(t)\right)^2 \cdot 2\)
und somit
(7) \(V(t)=\left(h(t)\right)^2\).
Gleichsetzen von (1) und (7) ergibt
(8) \(\left(h(t)\right)^2 = vt\).
Löse (8) nach \(h(t)\) auf.
Wie schnell steigt die Wasserhöhe nach 15 min?
\(h'(15)\)
Wie schnell steigt die Wasserhöhe, wenn das Wasser gerade 0,5 m hoch steht?
\(h'\left(t_0\right)\), wobei \(t_0\) die Lösung der Gleichung \(h(t) = 0,5\) ist.
Wie schnell steigt das Wasser, wenn sich im Trog gerade 1000 I befinden?
\(h'\left(t_1\right)\), wobei \(t_1\) die Lösung der Gleichung \(V(t) = 1\) ist (N.B. 1000 l = 1 m3).
