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Hallo,

ich würde gerne mal wissen, ob es eine bestimmte Formel gibt um Beispielsweise z8 zu berechnen wenn z=-1+i ist.

ich weiß dass z= √2 ei3/4π    ist.

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Hallo Markus,

wenn Du eine Antwort oder einen Teil einer Antwort auf eine Deiner Fragen nicht verstanden hast, so solltest Du dort gezielt nachfragen. Und nicht für das gleiche Problem eine neue Frage generieren.

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Beste Antwort

Aloha :)

Komplexe Zahlen potenziert man oft sehr einfach und schnell, indem man sie in Polarform darstellt. Du weisst bereits$$z=-1+i=\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi}$$Damit kannst du nun die \(8\)-te Potenz bilden:$$z^8=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi}\right)^8=\left(\sqrt2\right)^8\cdot\left(e^{i\,\frac{3}{4}\pi}\right)^8=((\sqrt2)^2)^4\cdot e^{i\,\frac{3}{4}\pi\cdot8}=2^4\cdot e^{i\,\frac{24}{4}\pi}=16e^{i\,6\pi}$$Wir können die \(e\)-Funktion noch weiter vereinfachen. In der komplexen Zahlenebene können wir einen Punkt um den Winkel \(2\pi\) um den Ursprung herum drehen und landen wieder an derselben Stelle. Übertragen auf den Exponenten der komplexen \(e\)-Funktion heißt das, wir können zum Winkel beliebig oft \(2\pi\) addieren oder subtrahieren. Subtrahieren wir \(3\)-mal \(2\pi\), finden wir weiter:$$z^8=16\,e^{i(6\pi-3\cdot2\pi)}=16\,e^{0}=16$$

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Vielen Dank!

Dann hab ich es doch richtig gemacht. Können Sie mir aber sagen was diese Formel hier sein soll die ich im Internet gefunden habe?

zn=|z|n *einφ=|z|n * (cos(nφ)+isin(nφ))

Tschakabumba:

Das ist keine Polarform.

Im Hinblick auf die aktuelle Diskussion um schlampige Fragestellungen solltest Du darauf nicht mit schlampigen Antworten reagieren.

????????????

Das ist keine Polarform.

wie heißt denn diese Darstellungsform \(r \cdot e^{i \varphi}\) genau?

@Markus32:

Lass dich von mllmaa's Kommentar nicht verwirren, unten habe ich einen Weiterbildungslink für ihn/sie notiert. Das ist die allgemeine Variante von dem, was du für den Spezialfall \(z=-1+i\) machen solltest. Wenn du die komplexe Zahl in Polarform hast, also \(z=re^{i\varphi}\), dann gilt für die \(n\)-te Potenz allgemein:

$$z^n=\left(re^{i\varphi}\right)^n=r^n\cdot\left(e^{i\varphi}\right)^n=r^n\cdot e^{i\,n\varphi}$$Die komplexe \(e\)-Funktion kannst du nun mit der Euler-Formel mit Hilfe von Sinus und Cosinus schreiben:$$z^n=r^n\cdot\left(\cos(n\varphi)+i\,\sin(n\varphi)\right)$$

@mllmaa:

Zum Weiterbilden:

https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Polarform

Alles Klar! Habs verstanden.

können Sie mir sagen ob ich die Aufgabe so richtig gelöst habe? Ich bin so vorangegangen, wie ich es in einem YouTube Video gesehen habe.

https://www.mathelounge.de/720870/komplexe-zahlen-potenzen-richtig-gelost-oder-falsch

Deine Lösung bei dem Link stimmt. Allerdings musst du darauf achten, dass es beim Wurzelziehen mehrere komplexe Lösungen gibt. Deswegen solltest du bei der Aufgabe aus dem Link unbedingt dazu schreiben, dass \(k\) die Werte von \(0,1,2,3,4,5\) annehmen kann. Dann wird jedem klar, dass du alle 6 Lösungen genannt hast.

Okay mach ich! Sie sind der beste! :D

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Eine komplexe Zahl wird hoch 8 genommen, indem man den Betrag hoch 8 nimmt und vom Argument das 8-fache bildet.

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Ich habe im Internet folgendes gefunden:

zn=|z|^n *einφ=|z|^n * (cos(nφ)+isin(nφ))

Habe das zum Thema Potenzieren komplexer Zahlen gefunden.Was hat es damit auf sich können Sie mir das erklären?

Mit freundlichen Grüßen

Ähnich wie auch bei Geraden und Ebenen gibt es bei komplexen Zahlen verschiedene Arten der Darstellung, die man ineinander umrechnen kann.

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$$ z^8= (\sqrt 2)^8\cdot e^{i\cdot8(3\pi/4)}=\ldots  =16 $$

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