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Aufgabe:

Wähle das passende Kriterium und bestimme, ob (absolut) konvergent oder divergent.

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}^{(2+(-1)^n) · n} \)

n=1∑∞ (1/2) ^ ((2+(-1)^n)*n)



Problem/Ansatz:

Da im Exponenten \( (-1)^n \) vorkommt, handelt es sich um eine alternierende Reihe und ich würde das Leibniz-Kriterium wählen, jedoch weiß ich nicht weiter.


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Vom Duplikat:

Titel: Bestimme ob die Reihen konvergent, nicht konvergent oder absolut konvergent sind.

Stichworte: konvergenz,reihen,absolut,divergenz

Hi Leute es würde mich sehr freuen wenn mit hier jemand helfen würde


Bestimme ob die Reihen konvergent, nicht konvergent oder absolut konvergent sind.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}^{(2+(-1)^n)*n}$$

Danke für die Hilfe :(

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen ob eine Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder nicht konvergiert.

Stichworte: reihen,konvergenz

Ich soll überprüfen,ob diese Reihen nicht konvergieren, konvergieren oder sogar absolut konvergieren.


1.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{4}}\sum\limits_{k=0}^{n}{k}} \)

2.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{2}})^{(2+(-1)^{n})*n} \)


Ich würde mich über Hilfe freuen.

1 Antwort

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Beste Antwort

Die Reihenglieder sind alle positiv, nix alternierend.

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2+(-1)^n)*n}$$

Kannst du in die Summe zweier konvergenter Reihen aufteilen

(gerade und ungerade Indices trennen.)

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(6*n)}+\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2n-1)}$$

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{64})^{n}+2*\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^{(2n)}$$

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{64})^{n}+2*\sum \limits_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^{n}$$

und dann über geometrische Reihe "abrechnen".

Avatar von 289 k 🚀

Okay. Und weil 1/64 und 1/4 kleiner sind als 1 konvergiert die Reihe stimmts?

Nur verstehe ich nicht wie der exponent zerteilt wurde sodass die exponenten zustande kommen.

Hallo mathef,

die Ergebnisse sind nicht identisch.

Könntest du mir im ersten Schritt erklären wie die Exponenten zustande kommen? Also 6*n und 1+2n.

Die geraden Werte für n bekommst du

ja, wenn du statt n in der Summe 2n schreibst

(Es geht dann n trotzdem von 1 bis unendlich.)

und du hast dann im Exponenten

( 2+(-1)^(2n) ) *(2n) = (2+1)*(2n) = 6n

Entsprechend die ungeraden mit 2n-1

(ich sehe gerade, dass ich 2n+1 genommen hatte,

aber dann würde es ja mit n=3 und nicht mit n=1

starten. das korrigiere ich noch.)

Ok danke habs verstanden

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