Gleichung auflösen Die Gleichung soll nach x aufgelöst werden

Question

Aufgabe:

x + 2*sqrt(x) - 24 = 0

Problem/Ansatz:

nach x auflösen

Comments

Hallo Harald,

die ersten drei Antwortenden haben vorgeschlagen, die Wurzel zu isolieren und dann die Gleichung zu quadrieren. IMHO ist es schlauer zu substituieren:$$z= \sqrt x , \quad z \ge 0$$und anschließend die quadratische Gleichung \(z^2 + 2z - 24 = 0\) zu lösen. Nur die positiven Lösung für \(z\) ist gültig; wegen \(z \ge 0\) (s.o.).

Vorteil: das Prüfen auf die Scheinlösung entfällt und man kann mit kleineren Zahlen rechnen.

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$$x + 2\cdot\sqrt{x} - 24 = 0$$Noch schlauer ist es vielleicht mit dem Satz von Viéta: $$\left(\sqrt{x}+6\right)\cdot\left(\sqrt{x}-4\right)=0$$$$\sqrt{x}-4=0$$

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@Werner und az0815:

Daumen hoch.  :-)

Answer 1

    x + 2√x - 24 = 0
⇔ x-24 = -2√x
⇒ (x-24)² = 4x

Jetzt ausmultiplizieren und quadratische Gleichung lösen.

Probe durchführen, weil das Quadrieren im zweiten Schritt keine Äquivalenzumformung ist.

Answer 2

2*sqrt(x) = 24 - x |quadrieren:

4x=576-48x+x²    |-4x

0=576-52x+x²

pq-Formel und Probe.  

Answer 3

Hallo,

x + 2*√x- 24 = 0 |+24 -x

2 √x= 24-x |(..)^2

4x= (24-x)^2

4x=x^2 -48x +576  | -4x

0=x^2 -52 x +576 ->pq-Formel

x1.2=  26  ± √(676-576)

x1.2=  26  ± 10

x1= 36 ist eine Scheinlösung, Probe tätigen

x2= 16 ist die Lösung

Comments

ist eine Scheinlösung

Substitution z = √x vermeidet Scheinlösungen und damit Proben und auch binom.Formeln.

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Kannst Du in einem EIGENEN Beitrag dann schreiben.