Ist das Mengensystem eine sigma -Algebra über B?

Question

Aufgabe:

Aufgabe A Sei \( (\Omega, \mathcal{A}) \) ein messbarer Raum und sei \( B \in \mathcal{A} \). Ist das Mengensystem \( \mathcal{A}_{1}:=\{A \cap B \mid A \in \mathcal{A}\} \) eine \( \sigma \) -Algebra über \( B ? \)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung ist:

\( (\Omega, \mathcal{A}) \) ist ein messbarer Raum ⇒ \( \mathcal{A}\) ist eine σ-Algebra über Ω

1. \( \Omega \) ∈ \( \mathcal{A}\)

2. Sei C ∈ \( \mathcal{A}_{1}\) ,dann existiert A ∈ \( \mathcal{A}\) mit C = A∩B. Somit gilt B\C = B\ (A∩B) = A^c ∩B

3. Sei (C_i) ∈ (\( \mathcal{A}\))^ℕ. Dann existert (A_i) ∈ \( \mathcal{A}\) derart, dass A_i ∩ B = C_i für jedes i ∈ ℕ.

Folglich gilt UC_i = U (A_i∩B) = (UA_i) ∩B ∈ \( \mathcal{A}_{1}\)

Ist es richtig?

Comments

Hallo,

zu 1. müsste es wohl heißen: \(B=\Omega \cap B \in \mathcal{A}_1\). Bei 2. würde ich abschließen mit \(B \setminus C= \ldots \in \mathcal{A}_1\).

Sonst scheint mir alles Klar.

Gruß