Hallo Babsi,
mit Spiegelmatrix
Der FuĂpunkt \(F\) eines Punktes \(P\) auf eine Geraden durch \(A\) in Richtung des Vektors \(n\) berechnet sich aus$$F = A + \frac n{|n|} \cdot \left( \left(\frac n{|n|} \right)^T\cdot (P-A)\right) \\ \phantom{F} = \left[ \underline 1 - \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T)\right]A + \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T) \cdot P$$\(n \cdot n^T\) ist das dyadische Produkt. Die Spiegelung von \(P\) an der Geraden zum Spiegelpunkt \(P'\) ist dann die selbe wie die Spiegelung an \(F\) - also$$\begin{aligned} P' &= 2F - P \\ &= 2\left[ \underline 1 - \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T)\right]A + \left[\frac 2{|n|^2} (n \cdot n^T) - \underline 1\right] P \end{aligned}$$So ist es eine affine Abbildung. Um daraus eine lineare(!) Abbildung zu machen mĂŒsste man zu homogene Koordinaten ĂŒbergehen.
Hier ist also$$A = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}, \quad n = \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 1\end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix}6\\ 4\\ -7\end{pmatrix} \\ P' = \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + \frac 1{33}\begin{pmatrix}-1& 32& 8\\ 32& -1& 8\\ 8& 8& -31\end{pmatrix} P \\ \phantom{P'} = \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 9\end{pmatrix}$$womit die X-Koordinate weder 2, 6 oder 7 ist. Nun deutet aber die Aussage
Sei S die lineare Abbildung,...
.. darauf hin, dass mit 'Gerade' die Ursprungsgerade in Richtung \(n\) gemeint ist und dass das \(a\) fĂŒr diesen Aufgabenteil irrelevant ist. Dann entfĂ€llt der konstante Anteil und \(P'\) ist $$P' = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 9\end{pmatrix}, \quad \implies p_x' = 2$$und die Spiegelmatrix ist$$S = \frac 1{33}\begin{pmatrix}-1& 32& 8\\ 32& -1& 8\\ 8& 8& -31\end{pmatrix}, \quad P' = S \cdot P $$anbei ein Bildchen mit beiden Lösungen
(klick auf das Bild)
Nachtrag:
Welche x Koordinaten besitzt das Bild des Vektors (6,4,-7)?
2, 6 oder 7
man kann diese Frage auch ohne Rechnung beantworten, wenn man sich die Ursprungsgerade und den Punkt \(P\) rÀumlich vorstellt (s.Bild). Dann muss nÀmlich die X-Koordinate des Bildes kleiner sein, als die von \(P\). Und damit kommt von den drei Auswahlmöglichkeiten nur \(p_x'=2\) in Frage!
