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Aufgabe:

Sei n=(4,4,1) und a= (1,-1,0). Sei S die lineare Abbildung, die jeden Vektoren an der Gerade mit Richtungsvektor n spiegelt.


Welche x Koordinaten besitzt das Bild des Vektors (6,4,-7)?

2, 6 oder 7


Kann mir da jemand helfen ?

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Hallo

soll die Gerade durch 0 oder durch a gehen?

lul

Mehr stand nicht bei der Angabe.

Mehr stand nicht bei der Angabe.

gibt es noch weitere Aufgabenteile, bei denen der Vektor/Punkt \(a\) vorkommt?

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo Babsi,

mit Spiegelmatrix

Der Fußpunkt \(F\) eines Punktes \(P\) auf eine Geraden durch \(A\) in Richtung des Vektors \(n\) berechnet sich aus$$F = A + \frac n{|n|} \cdot \left( \left(\frac n{|n|} \right)^T\cdot (P-A)\right)  \\ \phantom{F} = \left[ \underline 1 - \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T)\right]A +  \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T) \cdot P$$\(n \cdot n^T\) ist das dyadische Produkt. Die Spiegelung von \(P\) an der Geraden zum Spiegelpunkt \(P'\) ist dann die selbe wie die Spiegelung an \(F\) - also$$\begin{aligned} P' &= 2F - P \\ &= 2\left[ \underline 1 - \frac 1{|n|^2} (n \cdot n^T)\right]A +  \left[\frac 2{|n|^2} (n \cdot n^T) - \underline 1\right] P \end{aligned}$$So ist es eine affine Abbildung. Um daraus eine lineare(!) Abbildung zu machen müsste man zu homogene Koordinaten übergehen.

Hier ist also$$A = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}, \quad n = \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 1\end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix}6\\ 4\\ -7\end{pmatrix} \\ P' = \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + \frac 1{33}\begin{pmatrix}-1& 32& 8\\ 32& -1& 8\\ 8& 8& -31\end{pmatrix} P \\ \phantom{P'} = \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 9\end{pmatrix}$$womit die X-Koordinate weder 2, 6 oder 7 ist. Nun deutet aber die Aussage

Sei S die lineare Abbildung,...

.. darauf hin, dass mit 'Gerade' die Ursprungsgerade in Richtung \(n\) gemeint ist und dass das \(a\) für diesen Aufgabenteil irrelevant ist. Dann entfällt der konstante Anteil und \(P'\) ist $$P' = \begin{pmatrix}2\\ 4\\ 9\end{pmatrix}, \quad \implies p_x' = 2$$und die Spiegelmatrix ist$$S = \frac 1{33}\begin{pmatrix}-1& 32& 8\\ 32& -1& 8\\ 8& 8& -31\end{pmatrix}, \quad P' = S \cdot P $$anbei ein Bildchen mit beiden Lösungen

blob.png

(klick auf das Bild)


Nachtrag:

Welche x Koordinaten besitzt das Bild des Vektors (6,4,-7)?
2, 6 oder 7

man kann diese Frage auch ohne Rechnung beantworten, wenn man sich die Ursprungsgerade und den Punkt \(P\) räumlich vorstellt (s.Bild). Dann muss nämlich die X-Koordinate des Bildes kleiner sein, als die von \(P\). Und damit kommt von den drei Auswahlmöglichkeiten nur \(p_x'=2\) in Frage!


Avatar von 48 k
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Erstmal ein Bild

blob.png

Wie soll die Rechnung aussehen. Spiegelmatrix oder Lot auf Gerade fällen...

siehe https://www.geogebra.org/m/p4cmtaht

EDIT: Falls lul richtig liegt ergänze ich das Bild auch mal

blob.png

Avatar von 21 k

Hallo

Vielen Dank für Ihre Hilfe, gibt es jedoch eine mathematische Methode, um auf die Lösung zu kommen?

Wie lautet jetzt die Aufgabe?

>Wie soll die Rechnung aussehen. Spiegelmatrix oder Lot auf Gerade fällen<

Spiegelmatrix

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