Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x)= 10*e^(-0,5x+1) und der x-Achse

Question

Aufgabe:

Bestimmen SIe den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x)= 10*e^(-0,5x+1) und der x-Achse im Intervall von 0 < x < unendlich

Problem/Ansatz:

So wie ich das sehe muss ich den Flächeninhalt eines uneugentlichen Integrals bestimmen. Die Stammfunktion lautet F(x)=-20e^(-0,5+1)+20e. Ich bin nun bei der Vorgehensweise nicht mehr sicher. Ich muss den Grenzwertbilden glaube ich bilden und das eine x gegen null laufen lassen und das andere gegen +unendlich oder?

Answer 1

Aloha :)

Wenn wir uns den Graphen ansehen

~plot~ 10*e^(-0,5x+1) ; [[0|10|0|28]] ~plot~

sollte die untere Integrationsgrenze \(x=0\) keine Problem darstellen. Bei der oberen Integrationsgrene \(x\to\infty\) wird jedoch eine Grenzwertbetrachtung nötig:

$$F=\int\limits_0^\infty10e^{-0,5x+1}dx=\left[-20e^{-0,5x+1}\right]_0^\infty=\lim\limits_{x\to\infty}\left(-20e^{-0,5x+1}\right)-\left(-20e^{1}\right)$$$$\phantom{F}=0+20e=20e$$

Comments

Nur um noch mal sicher zu gehen, also beträgt der Flächeninhalt 20e oder 20? Ich glaube ich habe es immer noch nicht ganz verstanden

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Die Fläche beträgt$$20e=20\cdot e=20\cdot2,718...\approx54,3656$$

Answer 2

Da die Stammfunktion am oberen Ende des Intervalls gegen Null strebt, kannst Du einfach das Negative der Stammfunktion bei x=0 als Flächeninhalt verwenden.