Wie zeigt man, dass sich zwei Geraden schneiden?

Question

Aufgabe:

Hallo ich muss anhand der Aufgabe zeigen, dass zwei geraden sich schneiden und den Schnittpunkt berechnen…

A (4|1|5) , B(6|0|6), C (1|2|3), D(-2|5|3)

Problem/Ansatz:

Comments

Das sind vier Punkte und keine zwei Geraden...

---

Hallo und willkommen in der Mathelounge,

durch welche Punkte sollen denn die Geraden jeweils gehen?

---

Stelle die Geradengleichungen auf und setze sie gleich:

https://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/schnittpunkt-zweier-geraden.html

---

Vom Duplikat:

Titel: Schnittpunkt berechnen gerade

Stichworte: vektoren

Aufgabe:

Gegeben sind vier Punkte A(4|1|5), B(6|0|6), C(1|2|3) und D(-2|5|3) ich muss das berechnen und zeigen, dass die geraden g und h sich schneiden und dann den Schnittpunkt berechnen aber ich komme hier leider nicht weiter

Problem/Ansatz: Beispiel Aufgabe

A(1|0|0), B(1|1|1), C(2|4|5), D(3|6|8)

1) 1 + (1 - 1) * r = 2 + (3 - 2) * s
(2) 0 + (1 - 0) * r = 4 + (6 - 4) * s
(3) 0 + (1 - 0) * r = 5 + (8 - 5) * s
s = -1 ; r = 2
S (1│2│2)

---

Anmerkung: Das ist schlicht die Teilaufgabe c) hier https://www.mathelounge.de/316748/zeigt-dass-geraden-sich-schneiden-berechnet-schnittpunkt

Answer 1

Aloha :)

Ich rate mal, wei die Aufgabe wohl tatsächlich lauten mag...

Es gibt eine Gerade \(g\) mit den Punkten A(4|1|5) und B(6|0|6), also$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$und es gibt eine Gerade \(h\) mit den Punkten C(1|2|3) und D(-2|5|3), also$$h\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}$$

Davon soll der Schnittpunkt bestimmt werden:$$\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}$$Die Gleichung für die letzte Koordinate lesen wir ab:$$5+1\cdot s=3+0\cdot t\quad\implies\quad 5+s=3\quad\implies\quad s=-2$$Die Gleichung für die mittlere Koordinate wird dann$$1-s=2+3t\quad\implies\quad 1-(-2)=2+3t\quad\implies\quad1=3t\quad\implies t=\frac13$$Wir prüfen noch, ob bei beiden Geraden wirklich derselbe Punkt herauskommt:

$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}4\\1\\5\end{pmatrix}+(-2)\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}$$$$h\colon\vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\frac13\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\3\end{pmatrix}$$

Der Schnittpunkt ist also \(S(0|3|3)\).

Comments

Wieder toll erklärt, Tschaka.

Bei dir weiß man immer, woran man ist. :))

Bei dir hätte ich gern Mathe gehabt.

Answer 2

Vermutlich soll eine Gerade durch A und B gehen und die andere durch C und D, Dann musst du zunächst die Geradengleichungen finden. Tschakabumba hat das für dich getan und auch den weiteren Rechenweg angegeben.

Answer 3

g: X = [4, 1, 5] + r·[2, -1, 1]

h: X = [1, 2, 3] + s·[-3, 3, 0]

Gleichsetzen g = h

[4, 1, 5] + r·[2, -1, 1] = [1, 2, 3] + s·[-3, 3, 0]

2·r + 3·s = -3
-r - 3·s = 1
r = -2

Setze III in I und in II ein

2·(-2) + 3·s = -3 → s = 1/3

-(-2) - 3·s = 1 --> s = 1/3 → Die Geraden schneiden sich

S = [4, 1, 5] - 2·[2, -1, 1] = [0, 3, 3] → Der Schnittpunkt ist S(0 | 3 | 3)