Integral- und Volumenrechnung, der Erdhügel und die dreidimensionale Kurve

Question

Aufgabe:

Ein Erdhügel hat die Form einer Kurve mit der Gleichung \( f(x)=-\frac{1}{4} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2} \).

a) Berechne seine Querschnittsfläche zwischen den Nullstellen der Funktion in Flächeneinheiten (FE).

b) Berechne sein Volumen in Volumeneinheiten (VE), wenn seine Länge 10 Längeneinheiten (LE) beträgt.

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei der Aufgabe b helfen, irgendwie komme ich nicht weiter. Vielen Dank

Comments

Ein Erdhügel hat die Form einer Kurve

Nein, das hat er nicht.

Ein Erdhügel ist ein dreidimensionale Objekt. Eine Kurve ist ein eindimensionales Objekt.

Berechne seine Querschnittsfläche

Woher soll ich die wissen. Es ist ja noch nicht ein mal klar, wie die Funktion mit dem Erdhügel zusammenhängt.

Berechne sein Volumen

Könntest du bitte mal dem Autor der Aufgabe kräftig in den ...

in Volumeneinheiten (VE)

In was denn sonst? In Banannen? Diesen Fetischismus bezüglich [LE], [FE] und [VE] habe ich noch nie verstanden.

Answer 1

Aloha :)

Die Nullstellen der Hügel-Funktion$$f(x)=-\frac14x^3+\frac32x^2=-\frac14x^2\cdot(x-6)$$liegen offensichtlich bei \(x=0\) und bei \(x=6\).

Die Querschnittsfläche des Hügels lauet daher:$$F=\int\limits_0^6f(x)\,dx=\int\limits_0^6\left(-\frac14x^3+\frac32x^2\right)dx=\left[-\frac{1}{16}x^4+\frac12x^3\right]_0^6=-81+108=27\,\mathrm{FE}$$Das Volumen des Hügles bei \(10\,\mathrm m\) Tiefe beträgt:$$V=F\cdot10\,\mathrm{LE}=27\,\mathrm{FE}\cdot10\,\mathrm{LE}=270\,\mathrm{VE}$$

~plot~ -1/4x^3+3/2x^2 ; [[0|7|0|10]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

Volumen = Grundfläche · Höhe

Hier ist die Grundfläche der Querschnitt und die Höhe sind die 10 LE Länge.

Gruß, Silvia