Zeige für n = 2 und }A ∈ ℝ^{2 \times 2} {mit } A^2=0, { dass A nicht invertierbar ist}

Question

Aufgabe:

$$\text{Es sei } A \in \mathbb{R}^{n \times n} \text { eine Matrix. Zeige für n = 2 und }A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \text {mit }  A^2=0, \text{ dass A nicht invertierbar ist} \\\text{Gib ein n} \in \mathbb{N} \text{ und ein } A\in\mathbb{R}^{n \times n} \text{an mit }A^2\neq0 \quad und\quad A^3 =0$$

Comments

Zum zweiten Teil versuch mal die Matrix \(A=\small\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\).

---

Da hab ich zu kompliziert gedacht, danke!

Answer 1

Sei \(A^2=0\). Angenommen, \(A\) wäre invertierbar, also

\(AB=E\) für eine Matrix \(B\), wobei \(E\) die Einheitsmatrix sei.

Dann ergäbe sich

\(0=0\cdot B=(A^2)B=A(AB)=AE=A\).

Aber die 0-Matrix ist sicher nicht invertierbar.

Comments

Danke für die Hilfe!