Inverse in 4er System berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie 2 · a, für alle a ∈ ℤ₄ (=ℤ/4ℤ) und folgern Sie, dass 2 ∈ ℤ₄ nicht invertierbar ist.

Problem/Ansatz:

2*0=0, 2*1=1, 2*2=0, 2*3=1
Neutrale Element = 1 oder?

=> 3*2 = 1, also müsste 3 doch die Inverse sein?

Answer 1

Hallo

2*2=4 =0mod 4

2*3=3*2=6=2mod 4

3*3=9=1 mod 4, d,h, nur 3 (ausser 1) hat ein Inverses,

du musst wirklich rechnen!

Gruß lul

Answer 2

3*2 = 1, also müsste 3 doch die Inverse sein?

Nein, \(3\cdot 2=6=2\neq 1\).

\(2\) ist ein nilpotenter Nullteiler: \(2\cdot 2=4=0\).

Ein solcher kann nicht invertierbar sein.

Die einzigen invertierbaren Elemente sind

\(1\) und \(3\).