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(a) Sei \( K \) ein Körper. \( K[t]_{\leq 7} \) ist der 8-dimensionale \( K \)-Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 7 . Es sei
\( f: K[t]_{\leq 7} \rightarrow K[t]_{\leq 7}, \quad g(t) \mapsto g^{\prime}(t), \)
die Ableitung. \( f \) ist ein nilpotenter Endomorphismus. Bestimmen Sie für die drei Fälle \( \operatorname{char}(K) \in\{0,2,3\} \) jeweils die Bilder unter \( f \) der Vektoren \( t^{k} \) für alle \( k \in\{0, \ldots, 7\} \).

verstehe nicht ganz wie ich hier vorgehen muss .

Was sind die Spalten bzw. die Zeilen der Matrix?

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Du brauchst hier keine Matrix. Du musst die Polynome einfach nur (formal) ableiten:

\( f(t^k) = kt^{k-1} \)

Je nach Charakteristik, kann man den Vorfaktor dann noch umschreiben/vereinfachen.

Z.B. gilt für char(K) = 2

0 = 2 = 4 = 6 = ...

1 = 3 = 5 = 7 = ...

etc. (Die Zahlen sind hier natürlich als Körperelemente zu verstehen)

1 Antwort

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Doofe Nebenfrage:

Ist der Amazonas Nil-potent ?

Und der Ganges ?

Avatar von 3,9 k

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