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(a) Sei K K ein Körper. K[t]7 K[t]_{\leq 7} ist der 8-dimensionale K K -Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 7 . Es sei
f : K[t]7K[t]7,g(t)g(t), f: K[t]_{\leq 7} \rightarrow K[t]_{\leq 7}, \quad g(t) \mapsto g^{\prime}(t),
die Ableitung. f f ist ein nilpotenter Endomorphismus. Bestimmen Sie für die drei Fälle char(K){0,2,3} \operatorname{char}(K) \in\{0,2,3\} jeweils die Bilder unter f f der Vektoren tk t^{k} für alle k{0,,7} k \in\{0, \ldots, 7\} .

verstehe nicht ganz wie ich hier vorgehen muss .

Was sind die Spalten bzw. die Zeilen der Matrix?

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Du brauchst hier keine Matrix. Du musst die Polynome einfach nur (formal) ableiten:

f(tk)=ktk1 f(t^k) = kt^{k-1}

Je nach Charakteristik, kann man den Vorfaktor dann noch umschreiben/vereinfachen.

Z.B. gilt für char(K) = 2

0 = 2 = 4 = 6 = ...

1 = 3 = 5 = 7 = ...

etc. (Die Zahlen sind hier natürlich als Körperelemente zu verstehen)

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Doofe Nebenfrage:

Ist der Amazonas Nil-potent ?

Und der Ganges ?

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