Zeigen Sie, dass f genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn \lim _{\delta \downarrow 0} w_{f}(\delta)=0 gilt.

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Wir definieren für \( \delta>0 \) den Stetigkeitsmodul \( w_{f}:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} \) durch
\( \omega_{f}(\delta):=\sup \{|f(x)-f(y)|: x, y \in[a, b] \text { mit }|x-y|<\delta\} . \)
Zeigen Sie, dass \( f \) genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn \( \lim \limits_{\delta \downarrow 0} w_{f}(\delta)=0 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Hab leider keine Ahnung wie ich dies zeigen kann bzw. soll.

Comments

Das ist eine seltsame Aufgabe. Denn jede auf einem kompakten Intervall \([a,b]\) stetige Funktion ist dort auch gleichmäßig stetig.

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Das ist eine seltsame Aufgabe. Denn jede auf einem kompakten Intervall \([a,b]\) stetige Funktion ist dort auch gleichmäßig stetig.

Der Beweis besteht im Grunde doch nur aus dem Auf- bzw. Abschreiben von Definitionen. Vermutlich ist das Ziel, die Definitionen der auftretenden Begriffe zu wiederholen und durch Anwendung zu festigen.

Man kann die Voraussetzungen noch abschwächen. Aber der Beweis verändert sich dadurch ja nicht wirklich, oder übersehe ich da etwas?