f stetig dann f ist gleichmäßig stetig

Question

ich brauche hilfe :(

Sei f: ]a,b[→ R stetig. wir müssen zeigen dass f genau dann gleichmäßig stetig ist, wenn es eine stetige Funktion F: [a,b] → R gibt mit f(x) = F(x) für alle x ∈]a,b[.

.

Comments

Ist auch hier F(x) als Stammfunktion von f gemeint?

---

Aus der Aufgabenstellung geht doch eindeutig hervor, was F sein soll!

Gruß

---

ja F ist ein andere fuktion

aber kann erweiterung von f sein

---

Ach ja? Ich empfinde das nicht als eindeutig. Denn wenn ich die Notation F(x) denke, ist das immer die Stammfunktion von f gewesen. Und da ist es wohl erlaubt nachzufragen.

---

in der übung steht f mit schlange symbol statt F aber hier finde ich keine f schlange

---

Also um die gleichmäßige Stetigkeit zu beweisen, musst du zeigen, dass deine linkseitiger Grenzwert von f(x) x gegen a und dein rechtsseitiger Grenzwert von f(x) x gegen b existieren. Und das machst du darüber, dass du weißt, dass F(x) stetig in den Randpunkten ist folglich die Grenzwerte exe. und du weißt, dass F(x)=f(x) ist und dann Verwendest du den Satz von Heine, dass jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall gleichmäßig stetig ist.

So würde ich vorgehen.

---

also wenn F gleichmäßig stetig ist folgt dass f auch gl.stetig ? da F=f

danke im voraus

---

An sich schon ja. Die Idee war von mir aber lim x->a^(-) f(x) = lim x->a^(-) F(x) = F(a), d.h die Funktion f ist auch stetig auf ihrem Randpunkt a, das gleiche kannst du auch für lim x->b^(+) zeigen, dann ist aber f auf [a,b] stetig und nach Satz von Heine sogar gleichmäßig stetig und insbesondere auf (a,b)

So ungefähr hätte ich die Hinrichtung bewiesen. Muss aber nochmal nachdenken, ob das so formal korrek ist ...

---

Hallo,

die Beweisreichtung \( \Leftarrow\) ist ja trivial, weil F auf einem kompakten Intervall stetig ist, also gleichmäßig stetig ist. Der Knackpunkt für \(\Rightarrow\) ist doch, zu zeigen, dass

$$\lim_{x \to a}f(x)$$

existiert. Wenn das gesichert ist kann man definieren:

$$F(a):=\lim_{x \to a}f(x)$$

Gruß

Answer 1

Hallo,

wenn also \(f:]a,b[ \to \mathbb{R}\) gleichmäßig stetig ist, dann gilt

$$\forall \epsilon>0: \exists \delta>0: \forall x,y \in ]a,b[: \quad |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon \text{  zitiert als GS}$$

Wähle nun eine Folge \((x_n)\) in \(]a,b[\) mit \(x_n \to a\). Wir zeigen: \((f(x_n)\) ist eine Cauchy-Folge. Sei dazu \(\epsilon >0\) gegeben. Wähle dazu ein \(\delta >0\) nach (GS). Weil \((x_n)\) auch Cauchy-Folge ist existiert \(N \in \mathbb{N}\) mit:

$$\forall n,m \geq N: \quad |x_n-x_m| < \delta$$

Also wegn (GS) auch:

$$\forall n,m \geq N: \quad |f(x_n)-f(x_m)| < \epsilon$$

Wei \(f(x_n)\) Cauchy-Folge ist, existiert \(w \in \mathbb{R}\) mit \(f(x_n) \to w\).

Sein nun \((y_n)\) eine (weitere) Folge in \(]a,b[\) mit \(y_n \to a\). Dann gilt: \(x_n-y_n \to 0\). Analog folgert man, dass auch \(|f(x_n)- f(y_n| \to 0\) und damit ebenfalls \(f(y_n) \to w\).

Insgesamt ist damit wohldefiniert:

$$F(a):=\lim_{x \to a}f(x)=w$$

Gruß