Verstehe diese Aufgabe über Eigenwerte etc. nicht

Question

Aufgabe:

(a) Sei \( A \in M(n \times n, K) \) mit charakteristischem Polynom \( p_{A}(t)=\prod \limits_{i=1}^{n}\left(t-\lambda_{i}\right) \) mit \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \in K \). Geben Sie (ohne Begründung) die Formeln an, die die Spur \( \operatorname{Spur}(A) \) und die Determinante \( \operatorname{det}(A) \) mit den Werten \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n} \) verbinden.

(b) Eine Matrix \( A \in M(3 \times 3, \mathbb{C}) \) habe \( \operatorname{Spur}(A)=1 \), Determinante \( \operatorname{det}(A)=8 \) und drei Eigenwerte \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{Z} \) mit \( \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \lambda_{3} \). Allein aus diesen Informationen kann man \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) und \( \lambda_{3} \) bestimmen. Wie? Was sind ihre Werte?

Problem/Ansatz:

Ich bin bei den Matrizen etc. Nicht mitgekommen. Kann mir jemand die Aufgabe erklären?

Answer 1

Zu (b):

Da die Eigenwerte ganze Zahlen sind und ihr Produkt nach (a)

den Wert 8 hat, sind die Eigenwerte Teiler von 8,

also \(\in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\}\). Ihre Summe ist

nach (a) gleich 1, d.h. die Eigenwerte können nicht alle positiv sein.

Die Anzahl der negativen Eigenwerte ist notwendig gerade.

Aus diesen Angaben kannst du die Eigenwerte eindeutig

bestimmen.