Spur einer Matrix und Eigenwerte

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sei die reelle Matrix $C \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ mit $\operatorname{Sp} C=3$, welche den Eigenwert $\lambda_{1}=1$ - i und die weiteren Eigenwerte $\lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{C}$ besitzt. Bestimmen Sie $\lambda_{2}$ und $\lambda_{3}$ :
$\lambda_{2}=\square, \quad \lambda_{3}=\square .$

Text erkannt:

Gegeben sei die reelle Matrix $C \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ mit $\operatorname{Sp} C=3$, welche den Eigenwert $\lambda_{1}=1$ - i und die weiteren Eigenwerte $\lambda_{2}, \lambda_{3} \in \mathbb{C}$ besitzt. Bestimmen Sie $\lambda_{2}$ und $\lambda_{3}$ :
$\lambda_{2}=\square, \quad \lambda_{3}=\square .$

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf diese Lösung? Ich bin so vorgegangen: Sp C= 3= 1-i + λ2 +λ3 und daraus folgt λ2+λ3=2+i . Ich würde λ2=2 und λ3=i machen

Answer 1

Wenn eine reelle Matrix einen komplexen Eigenwert hat, dann ist das

konjugierte dieses Eigenwertes auch ein Eigenwert.

Da einer mit 1-i gegeben war, ist 1+i auch einer. Dann bleibt nur 1

für den 3.