Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V.

Question

Aufgabe:

Wir betrachten R⁴ sowie die beiden Untervektorräume

U := Spann_ℝ {(1,1,1,1), (0,1,0,1), (1,0,0,1)} und V := Spann_ℝ {(0,1,-1,0), (1,-1,1,1)}

Bestimmen Sie eine Basis von U ∩ V.

Problem/Ansatz:

Habe überprüft, ob die Vektoren U+V zusammen linear unabhängig sind, was sie sind. Besteht die Basis dann aus den 5 Vektoren oder ist das falsch gedacht?

Mit freundlichen Grüßen und vielen Dank!

Answer 1

Es ist \((1,0,0,1)=(0,1,-1,0)+(1,-1,1,1)\), also

\((1,0,0,1)\in U\cap V\).

Die Vektoren \(\{(1,1,1,1),(0,1,0,1),(0,1,-1,0),(1,-1,1,1)\}\)

sind linear unabhängig, also gilt \(\dim(U+V)=4\).

Der Dimensionssatz für Unterräume liefert

\(\dim(U\cap V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U+V)=3+2-4=1\).

Damit haben wir in \(\{(1,0,0,1)\}\) eine Basis

von \(U\cap V\).