Berechne eine Basis des Bildes

Question

Aufgabe: $$f((0,1)^T)= (2,0,1)^T$$

und $$f((2,1)^T)= (1,1,1)^T$$

0. Ist f durch diese Angaben eindeutig bestimmt?

1. Berechne eine Basis des Bildes

2. Gib den Rang von f, den Kern von f und die Dimension des Kerns an

3. Gib die zu f gehörige Matrix bezüglich der Standardbasis an.

Problem/Ansatz:

0. Hier muss ich doch nur schauen, ob die Vektoren linear unabhängig sind

Was muss ich bei den anderen tun? Bitte helft mir

Answer 1

Zu 0.:

Du hast Recht: da die beiden Vektoren \((0,1)^T,(2,1)^T\) linear unabhängig

sind, gibt es die lineare Abbildung mit den geforderten Eigenschaften.

Zu 1.:

Da die Bilder \((2,0,1)^T,(1,1,1)^T\) linear unabhängig sind, erzeugen

sie einen 2-dimensionalen Raum und das ist img(f); denn für

für \(f:V\rightarrow W\) gilt allgemein (bei endlichen Dimensionen)

\(\dim (f(V))\leq \dim(V)\).

Zu 2.:

Benutze die Dimensionsformel für lineare Abbildungen.

Zu 3.:

Nutze die Tatsache, dass \((1,0)^T=\frac{1}{2}((2,1)^T-(0,1)^T)\) ist

und die Linearität von f, um \(f((1,0)^T)\) zu berechnen ....