Hallo, ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:
Bestimme eine Basis von \( \operatorname{Im}(f) \), \( r g(f) \) und \( \operatorname{dim}_{K}(Ker(f)) \) für \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) gegeben durch
\(M_{f}=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 4 & 5 & -3 \end{array}\right) \)
Also erstes habe ich die Matrix \(M_f \) in ZSF überführt:
\(\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -3 \\ 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
Zur Basis vom Bild:
\(Im(M_f)= \langle \begin{pmatrix} 2\\1\\-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\3\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\12 \end{pmatrix} \rangle \)
Die Vektoren sind offensichtlich linear unabhängig, bilden also eine Basis von \(Im(M_f) \).
Gilt denn jetzt auch \(Im(M_f)=Im(f) \)?
Zum Rang:
Den Rang ließt man ja recht schnell ab: \(rg(M_f)=3 \).
Aber was ist denn der Rang einer Funktion f? Meint das \(rg(M_f)= rg(f)\)?
Zum Kern:
\(Ker(M_f)= \{v \in \mathbb{R}^4 | M_f \cdot v = 0 \} = \{\vec{0} \} \)
Gilt jetzt auch \(Ker(M_f) = Ker(f) \) bzw \(dim(Ker(M_f))=0 =dim( Ker(f)) \)?
Wäre toll, wenn mir jemand den Zusammenhang erklären könnte.
