Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von L(A) , sowie mit Begründung die Dimension des Bildes von L(A) .

Question

Aufgabe:

A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \)

L(A): ℝ⁴ → ℝ³ Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von L(A), sowie mit Begründung die Dimension des Bildes von L(A).

Problem/Ansatz: Ich bin gerade etwas verwirrt, die Matrix A zeigt mir ja quasi meine Vektoren von L(A) im ℝ³ an.

Meine Überlegung ist, dass ich nun die Matrix nehme: Spalte 1 und 2 tausche und die dritte Zeile - die erste rechne. Danach rechne ich die 3 - 2 Zeile. Die Vektoren, die in Zeilenstufenform stehen, sind das Bild von L(A) und der Kern wäre: {\( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) }  Eine Basis vom Kern wäre dann ja: \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

Und die Dimension: dim(R³) = dim(bild(L(A)) + dim(kern(L(A)) → 3 = 2 + dim(kern(L(A)) → dim(kern(L(A)) = 3-2 = 1

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) → \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \) →  \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0  & 0 \end{pmatrix} \)

…

Answer 1

nd der Kern wäre: {\( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) }  Eine Basis vom Kern wäre dann ja: \( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

NEIN , die beiden bilden eine Basis ( \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) ), also

dim(Kern(L(A)))=2 .

Nicht: dim(R3) = dim(bild(L(A)) + dim(kern(L(A))

sondern  dim(ℝ^4) = dim(Kern(L(A))) + dim(Bild(L(A)))

ist also dim(Bild(L(A))) = 2.

Comments

Ich habe mal eine ganz allgemeine Frage:

Betrachte ich für die Berechnung den R³ oder R⁴. Mein Studienkollege meint der R4. Somit würde die Basis aussehen: \( \begin{pmatrix} -2\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Und dann würde die Dimensionsformel R⁴ = dim(bild(L(A))) und dim(kern(L(A)))

sinn ergeben: 4 = 2 + 2

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Die Abbildung geht ja von R^4 nach R^3. Also ist

der kern ein Unterraum von R^4. Das war mir

bei deiner Lösung gar nicht aufgefallen. Die beiden von

R^3 wären aber auch lin. unabh. gewesen.