Wahrscheinlichkeitsrechnung mit einem Baumdiagramm dargestellt

Question

Aufgabe: Sie würfeln 5 mal mit einem gewöhnlichen Spielwürfel (mit 1-6 Augen).
b.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 2 mal eine 6 zu würfeln.

Problem/Ansatz: 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 + das gleiche nochmal = 125/7776 + 125/7776 = 0,03215 also 3,22 % 
Laut Lösung müssten es jedoch 0,16075 also 16,08 % sein
da der möglicher Lösungsweg 1/6 * 1/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 *10 (da 5*2) das Ergebnis ergibt.

Kann mir wer erklären, warum * 10 also 5 * 2 gerechnet wird, also wie man das mit einem Baumdiagramm darstellen kann, damit ich's bitte nachvollziehen also verstehen kann.

a.) Denn wenn ich die Übung davor nehme, wo 2 gewürfelt wird und 1 von 2 Würfen ein 6 ergibt bin ich auf das richtige Ergebnis mit 1/6 * 5/6 + 5/6 * 1/6 was 10/36 also 0,2778 somit 27,28 % gekommen.

Wie sieht der Lösungsweg, wenn möglich, aus wenn ich b.) analog dem Schema wie in a.) angewendet löse? Wenn nicht möglich, könnt ihr mir sagen warum ich anders vorgehen muss?

Lieben Dank für Eure Unterstützung Martina

Answer 1

+ das gleiche nochmal

Nein.

Das gleiche insgesamt \({5\choose 2}=\frac{5!}{2!(5-2)!} = 10\) mal.

wie man das mit einem Baumdiagramm darstellen kann

Fünf Ebenen. Auf jeder Ebene die Ergebnisse "6" und "keine 6". Zähle wie viele Pfade es gibt, auf denen genau zwei mal "6" vorkommt.

Denn wenn ich die Übung davor nehme, wo 2 gewürfelt wird und 1 von 2 Würfen ein 6 ergibt

In dem Baumdiagramm gibt es nur zwei Pfade, auf denen genau eine 6 liegt.

Comments

Das hat was mit Kombinatorik zu tun nicht nur mit Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Verstehe aber noch nicht wie ich weiß wann ich was anwende, das ist hier mein Problem momentan. Muss das mal definitiv erstmal wirken lassen und mal was anderes zwischendurch als Pause machen.

Warum addiere ich bei der Aufgabe a. wo ich 2 mal ziehe und 1 mal ist es eine 6
die zwei Möglichkeiten also 1/6*5/6 + 5/6*1/6
und multipliziere bei der Aufgabe b. wo ich 5 mal ziehe und 2 mal ist es eine 6
die Möglichkeit mal 10 also 5*2
Wieso gehe ich nicht nach dem gleichen Schema vor?

---

Kombinatorik wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung häufig verwendet, um zu zählen, wie viele Elemente in einer Menge sind. Kombinatorik ist deshalb für die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein wichtiges Hilfsmittel.

Verstehe aber noch nicht wie ich weiß wann ich was anwende,

Du solltest für jedes kombinatorisches Abzählverfahren wissen, was auf innermathematischen Ebene damit gezählt wird.

Zum Beispiel gibt der Binomialkoeffizient \(n\choose k\) an, wieviele \(k\)-elementige Teilmengen eine \(n\)-elementige Menge hat.

Die Ebenen des fünfstufigen Baumdiagramms aus der Aufgabenstellung werden als Menge \(M = \{1,2,3,4,5\}\) aufgefasst. Jeder Pfad in dem Baumdiagramm kann dann als Teilmenge \(T\) von \(M\) aufgefasst werden indem man festlegt, dass auf den Ebenen von \(T\) eine Sechs gewürfelt wird und auf allen anderen Ebenen keine Sechs gewürfelt wird. So steht zum Beispiel die Teilmenge \(T = \{1,4\}\) für den Pfad, auf dem im ersten und vierten Wurf eine Sechs gewürfelt wird und im zweiten, dritten und fünften Wurf keine Sechs gewürfelt wird.

Ist man nun an den Pfaden interessiert, auf denen genau zwei mal eine Sechs gewürfelt wurde, dann zählt man die \(2\)-elementigen Teilmengen von \(M\).

Warum addiere ich bei der Aufgabe a. wo ich 2 mal ziehe und 1 mal ist es eine 6 die zwei Möglichkeiten

Weil sich das Ereignis "genau eine Sechs" aus den zwei Ergebnissen "Sechs im ersten Wurf und keine Sechs im zweiten Wurf" und "Sechs im zweiten Wurf und keine Sechs im ersten Wurf" zusammensetzt.

Alternativ dazu könntest du natürlich auch die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\) mit dem Binomialkoeffizienten \(2\choose 1\) multiplizieren.

und multipliziere bei der Aufgabe b. wo ich 5 mal ziehe und 2 mal ist es eine 6 die Möglichkeit mal 10 also 5*2

Ich habe dir bereits gesagt, wo die 10 herkommt. Noch ein mal deutlicher, sie kommt nicht davon, dass du 5 Ebenen mal 2 Erfolge multiplizierst. Sie kommt vom Binomialkoeffizienten.

Wieso gehe ich nicht nach dem gleichen Schema vor?

Das frage ich mich wirklich auch. Ich frage mich, warum du meine Aufforderung "zähle wie viele Pfade es gibt, auf denen genau zwei mal Sechs vorkommt" ignorierst.

Answer 2

b) P(X=2)= (5über2)* (1/6)^2*(5/6)^3 = ...

n= 5, p= 1/6, k=2

Du musst alle möglichen Reihenfolgem beachten. Es gibt 10 davon = (5über2)

a) (2über1)*(1/6)^1*(5/6)^1 = 27,78%

Comments

Das ist Kombinatorik die du hier anwendest. Verstehe nur nicht warum hier bei b.) angewendet wird und es anders als a.) gelöst wird?

Könnte man b.) mit dem Schema von a.) nicht lösen?

---

Schau mal hier:

https://matheguru.com/stochastik/bernoulli-experiment.html

Answer 3

Hallo,

ich schreibe mal alle Möglichkeiten auf.

x soll "keine 6" bedeuten.

a)

6x

x6

b)

66xxx

6x6xx

6xx6x

6xxx6

x66xx

x6x6x

x6xx6

xx66x

xx6x6

xxx66

Also 2 aus 5 Möglichkeiten, bzw.\(\binom52=10\).

:-)