Schnitt von Eigenräumen

Question

Aufgabe:

Schnitt von Eigenräumen beweisen

Problem 3 Schnitt von Eigenräumen
Gegeben seien eine Matrix $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ und Eigenwerte $\lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{C}$ von $\mathbf{A}$ mit $\lambda_{1} \neq \lambda_{2}$. Des Weiteren sei mit Eig $(\lambda)$ der Eigenraum eines beliebigen Eigenwerts $\lambda$ bezeichnet. Beweisen Sie, dass
$\operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right)=\{\mathbf{o}\} .$

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keine Idee, wie ich hier vorgehe.

Comments

Hat jemand eine Idee?

Answer 1

Sei $x\in \operatorname{Eig}\left(\lambda_{1}\right) \cap \operatorname{Eig}\left(\lambda_{2}\right)$.

Dann gilt

$$Ax = \lambda_1x = \lambda_2 x \Rightarrow (\lambda_1-\lambda_2)x= o\stackrel{\lambda_1\neq \lambda_2}{\Rightarrow} x= o$$