Vektormultiplikation Verständnisgfrage

Question

Irgendwie bin ich grade etwas verwirrt von einer Aufgabenstellung

x= [1,2,3,4]^T ; y=[5,6,7,8]^T

und ich soll Z = xy^T berechnen.

Mache ich jetzt ein Sklarprodukt oder eher eine Matrixmultiplikation weil der eine Vektor ist ja vertikal der andere horizontal (transponiert).

Answer 1

Aloha :)

Das ist eine herkömmliche Matrix-Multiplikation:$$Z=x\cdot y^T=\begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5 & 6 & 7 & 8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5 & 1\cdot6 & 1\cdot7 & 1\cdot8\\2\cdot5&2\cdot6&2\cdot7&2\cdot8\\3\cdot5&3\cdot6&3\cdot7&3\cdot8\\4\cdot5 & 4\cdot6 & 4\cdot 7&4\cdot8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5 & 6 & 7 & 8\\10 & 12 & 14 & 16\\15 & 18 & 21 & 24\\20 & 24 & 28 & 32\end{pmatrix}$$

Comments

Ich vermute mal der Rang ist dann 1 weil es Vielfache voneinander sind

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Ja genau. Alle Bilder sind irgendwelche Vielfache von $\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}^T$. Daher ist der Bildraum 1-dimensional.

Answer 2

Mache ich jetzt ein Sklarprodukt oder eher eine Matrixmultiplikation

Das läuft auf das Gleiche hinaus.

Comments

wieso bei Skala komme ich doch auf 70 und bei einer Matrix würde ich ja x1*y1 x1*y2 ... x4 * y4 berechnen und eine Matrix erhalten

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Reden wir von x*(y^T) oder von (x*y)^T?

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Das läuft auf das Gleiche hinaus.

Wirklich?

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Ich denke mal wenn ich danach den Rang berechnen soll macht es mehr Sinn dass am Ende eine Matrix rauskommt oder ?

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Das würde ich auch sagen.

Reden wir von x*(y^T) oder von (x*y)^T?

Ich bin für das erste.