Aufgabe:
Es werden die reellen Zahlenfolgen \( \left(x_{n}\right) \) und \( \left(y_{n}\right) \) betrachtet, die durch
\( x_{n}:=\frac{3 n+5}{4 n+7} \), \( y_{n}:=1-\sqrt{x_{n}} \)
definiert sind.
(a) Untersuchen Sie die Zahlenfolgen \( \left(x_{n}\right) \) und \( \left(y_{n}\right) \) auf Monotonie.
(b) Zeigen Sie, dass die Zahlenfolgen \( \left(x_{n}\right) \) und \( \left(y_{n}\right) \) beschränkt ist, indem Sie für beide Folgen jeweils eine obere und eine untere Schranke bestimmen.
(Hinweis: Denken Sie daran, dass 'bestimmen' bedeutet, das Ergebnis zu begründen!)
Problem/Ansatz:
Ich hätte eine Idee für xn, aber bei yn habe ich kein Idee, könnte mir jemand sagen, ob die Lösung stimmt bz.w mir bei yn helfen
A) \( x_{n}:=\frac{3 n+5}{4 n+7} \)
\( a_{n+1}-a_{n}=\frac{3n+8}{4n+11}-\frac{3n+5}{4n+7} \)
\( a_{n+1}-a_{n}=\frac{(3n+8)(4n+7)-(3n+5)(4n+11)}{(4n+11)(4n+7)}\)
\( a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(4n+11)(4n+7)}\) > 0
Also monoton steigend.
B)
\( \begin{array}{ll}S_{u}=0 \\ 1 \leq \frac{3n+5}{4n+7} & \mid \cdot(4n+7) \\ 4n+7 \leq 3n+5 & \mid-4n-5 \\ 2 \leq -1n & \mid \cdot(-1) \\ -2 \leq n \rightarrow \text { w.A. }\end{array} \)
\( \begin{array}{ll}S_{0}=3 & \\ \frac{3n+5}{4n+7} \leq 3 & \mid \cdot(n+1) \\ 3n+5 \leq 3(4n+7) & \mid \text { K.a. } \\ 3n+5 \leq 12n+21 & \mid-3n-21 \\ -\frac{16}{9} \leq n \rightarrow \text { w.A. } & \end{array} \)
