Grenzwert einer Reihe beweisen

Question

Beim Berechnen der Anzahl der Schritte eines Algorithmus', den ich entwickelt habe, bin ich auf die Reihe

$$ \sum_{k=2}^n \frac{(k - 1)^2}{k!} $$

gestoßen. Jetzt hatte mit der Grenzwert dieser Reihe interessiert und interessanterweise scheint das e-1 zu sein, also

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=2}^n \frac{(k - 1)^2}{k!} = e - 1$$

Aber das würde ich nun gerne beweisen. Kann da jemand helfen?

Wenn man die Summe mit k=0 statt mit k=2 beginnt, sieht der Anfang der Reihe mit (-1)^2 und 0 etwas komisch aus, aber dann ist der Grenzwert e.

Answer 1

Mein Weg ist nicht sonderlich elegant aber funktioniert.

Schreibe zunächst \(\boxed{(k-1)^2=k(k-1)-k+1}\) und nutze die bekannte Identität \(\boxed{\sum_{k=0}^{\infty}\frac 1{k!} = e}\).

Damit hast du

$$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(k-1)^2}{k!}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{k(k-1)}{k!}- \sum_{k=2}^{\infty}\frac{k}{k!} + \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!} = \ldots$$

$$\ldots = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k-2)!}-\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(k-1)!} + \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}= \ldots$$

Jetzt Indexshifts:

$$\ldots = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}+ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k!}= \ldots$$

$$\ldots =e - (e-1) + (e-2)= e-1$$

Comments

Danke. Das ist doch kurz und knapp und damit elegant.

Ich war auf einem ähnlichen, aber umständlicheren Weg, hätte von ein paar Reihen den Grenzwert e bzw. 1 beweisen müssen. Deine Lösung gefällt mir viel besser.