Vollständige Induktion Teilbarkeit durch 8

Question

Aufgabe: 3²ⁿ − 1 ist für ∀n ∈ N durch 8 ohne Rest teilbar.

Problem/Ansatz: komme beim Induktionsschritt nicht weiter

IS: n= n+1

3^2*(n+1) -1 / 8

3²ⁿ⁺²   - 1 =  3^{2n  *} 3²    - 1

              = 9 *  3²ⁿ      -1

              = ?

Comments

Schreib mal \(9=8+1\).

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also so:

(8+1) * 3^2n.   -1

8 * 3²ⁿ  + 1 * 3²ⁿ - 1

8* 3²ⁿ + 1 (3²ⁿ -1)

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Genau so. Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung benutzen.

Answer 1

Falls Induktion kein Muss ist, kannst du auch mit der binomischen Formel arbeiten:

\(a^n - 1 =(a-1)(a^{n-1} + \cdots + a + 1)\)

Also

\(3^{2n} − 1 = 9^n- 1 = (9-1)(9^{n-1} + \cdots + 9 + 1)\).

Geht etwas schneller als Induktion.