Es genügt zu zeigen, dass (1) \(\left(M^{-1}\right)^{-1}\) für alle \(M\) existiert, die ein linksinverses \(M^{-1}\) haben, und dass (2) in diesem Fall \(\left(M^{-1}\right)^{-1} = M\) ist.
Dann folgt aus der Existenz des linksinversen \(A^{-1}\) von \(A\), dass
\(\left(A^{-1}\right)^{-1}\cdot A^{-1} = A\cdot A^{-1} = E \)
ist und somit \(A^{-1}\) auch rechtsinverses von \(A\) ist.
Die Bahauptungen (1) und (2) gelten, weil man \(M^{-1}\) mittels elementarer Zeilenumformungen bestimmen kann und jede elementare Zeilenumformung rückgängig gemacht werden kann.
