Aufgabe: Angenommen ich habe einen Körper K und ein irreduzibles Polynom f. Dann ist \( K[x] / f K[x]\) ein Körper.
\( K[x] / f K[x]\) ist ein Ring deshalb genügt es zu zeigen, dass jedes Element ein Inverses hat. Jetzt habe ich folgenden Beweis:
Sei \(q+f K[x] \in K[x] / f K[x]\)
von 0 verschieden und so gewählt, dass \( q \) ein Rest bei Division durch \( f \) ist. Damit ist \( f \) kein Teiler von \( q \), und da \( f \) irreduzibel ist, folgt \( \operatorname{ggT}(f, q)=1 \). Dann gibt gibt es \( u, v \in K[x] \) mit \( f u+q v=1 \).
\( \begin{array}{c} (q+f K[x])(v+f K[x]) \\ =q v+f K[x] \\ =q v+f u+f K[x]=1+f K[x] . \end{array} \)
Also ist \( v+f K[x] \) das Inverse zu \( q+f K[x] \) in \( K[x] / f K[x] \).
Kann mir jemand ein wenig bei den Zwischenschritten von der Rechnung weiterhelfen? Rechnet man da jetzt sozusagen mod(f), also jedes vielfache vom Polynom f ist 0? Weil wenn ich rechne:
$$(q+f K[x])(v+f K[x])=qv+qfK[x]+vfK[x]+(fK[x])^2$$
komme ich halt irgendwie nicht so recht auf den Rest der Gleichung.
