Seien V1, . . . , Vk endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K. Zeigen Sie: dim(V1×…×Vk) =^ k ∑_i=1dim(Vi).

Question

habe absolut keine Ideen. Hoffe auf eure Hilfe.

Seien V1, . . . , Vk endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K. Zeigen Sie:
dim(V1 × · · · × Vk) = ^k ∑_i=1 dim(Vi).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Seien V1,..,Vk endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K. Zeige...

Stichworte: vektorraum,dimension

Wie kann ich das zeigen?

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Hallo Hanna, nehmen wir an, wir haben den 2-dimensionalen Vektorraum V1 und den 3-dimensionalen Vektorraum V2.  V1 habe die Basis b11 und b12.  V2 habe die Basis b21, b22 und b23.  Jetzt betrachten wir den Vektorraum W = V1 x V2.  Eine Basis dieses Vektorraums ist (b11, b21), (b11, b22), (b11, b23), (b12, b21), (b12, b22), (b12, b23).  Also ist dim(W) = 6.  Laut deiner Aufgabenstellung müsste dim(W) = 5 sein.  Komisch.

Answer 1

Tipp: Probier es mal erst mit zweien:

{u1,u2 } Basis von V1 und {w1,w2,w3} Basis von V2.

Sei nun v = u1,u2  aus V1xV2 , dann lassen sich beide vi darstellen

v1 = a*u1 + b*u2     und   v2 = c*w1 + d*w2 + e*w3  

dann bekommst du für v die Darstellung 

v = (v1,v2) =( a*u1 + b*u2    ,  c*w1 + d*w2 + e*w3  )

= a*(u1,0) + b*(u2,0) + c(0,w1) + d*(0,w2) + e*(0,w3) 

also bilden (u1,0) ,(u2,0) ,(0,w1) , (0,w2) , (0,w3) eine Basis 

von V1xV2.

Mit der Idee und vollst. Induktion sollte es klappen.

Comments

Wie wäre den n -> n+1 ?

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Hallo mathef, sehr gute Antwort, danke.  Kleiner Fehler oben:  Sei nun v = u1, u2  ->  Sei nun v = (v1, v2).

Answer 2

Schau mal dort. 

https://www.mathelounge.de/510534/seien-endlichdimensionale-vektorraume-uber-korper-zeige