Aufgabe:
Sei \( K \) ein Unterkörper eines Körpers \( (L,+, \cdot) \) (z.B. \( K=\mathbb{R}, L=\mathbb{C} \) ). Zeige, dass \( (L,+) \) zusammen mit der auf \( K \times L \) eingeschränkten Multiplikation ein Vektorraum über \( K \) ist.
Problem/Ansatz:
Hierfür reicht es doch einfach die Vektorraumaxiome zu zeigen.
\( (\mathrm{V} 1)\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \cdot v=\lambda_{1} \cdot v+\lambda_{2} \cdot v \)
\( (\mathrm{V} 2)\left(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2}\right) \cdot v=\lambda_{1} \cdot\left(\lambda_{2} \cdot v\right) \),
\( (\mathrm{V} 3)\lambda \cdot\left(v_{1}+v_{2}\right)=\lambda \cdot v_{1}+\lambda \cdot v_{2} \),
\( (\mathrm{V} 4) 1 \cdot v=v \)
Bei V1 liegen alle Elemente \(\lambda_{1}\) \(\lambda_{2}\) auch in L, da K Unterkörper von L ist - somit ist das Distributivgesetz klar.
Die anderen Axiome müssten sich ja auf gleiche Weise ergeben.
Ich weiß somit nicht sorrecht, was ich zeigen soll bzw. wie man dies formal richtig notiert.
