Ist ℝ^{2} mit diesen Operationen ein Vektorraum über ℝ?

Question

Aufgabe:

Betrachte auf \( \mathbb{R}^{2} \) die übliche Vektoraddition und definiere \( \star: \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) durch a) \( \lambda \star^{t}\left(v_{1}, v_{2}\right)={ }^{t}\left(\lambda v_{1}, v_{2}\right) \), b) \( \lambda \star^{t}\left(v_{1}, v_{2}\right)={ }^{t}(0,0) \). Ist \( \mathbb{R}^{2} \) mit diesen Operationen ein Vektorraum über \( \mathbb{R} \) ?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht, was ich hier machen muss. Wahrscheinlich muss man Überprüfen, welche Axiome gelten und welche nicht erfüllt sind - aber wie in diesem Fall? (Wahrscheinlich eh wieder trivial ☺)

\((V1) (λ1+λ2)⋅v=λ1⋅v+λ2⋅v\)

\( (\mathrm{V} 2)\left(\lambda_{1} \cdot \lambda_{2}\right) \cdot v=\lambda_{1} \cdot\left(\lambda_{2} \cdot v\right) \)

\( (\mathrm{V} 3)\lambda \cdot\left(v_{1}+v_{2}\right)=\lambda \cdot v_{1}+\lambda \cdot v_{2} \)

\( (\mathrm{V} 4) 1 \cdot v=v \)

Answer 1

Ich verstehe nicht, was ich hier machen muss.

Mache dir ein paar Beispiele und lerne daraus, ob \(*\)

eher eine oder eher keine Skalarmultiplikation eines

VR liefert. Wenn du dabei auf Nein tippst, suche ein Gegenbeispiel.

Bei Ja solltest du einen formalen Beweis angeben.

Fällt es dir schwer einen solchen zu liefern, könnte es ja sein,

dass das nicht an deinem Unvermögen liegt, sondern daran,

dass Nein die richtige Vermutung ist. Ich schlage vor sowohl bei

a) als auch bei b) Gegenbeispiele zu suchen.

Comments

Danke - dann versuch ich mal mit diesen Tipps die Aufgabe zu lösen