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Aufgabe: Berechne eine Basis von Kern(f) und Bild(f)

Gegeben ist:
f : M22(R) -> R[T]
f(\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) ) = (a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T2

Problem/Ansatz:

Basis von Kern(f):
f(a, b, c, d) = 0
(a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T2 = 0
I: a+b = 0
II: a+b+c+d = 0
I: a = -b
II: c = -2b-d
Das bedeutet doch, dass jeder Vektor im Kern von f die Form \( \begin{pmatrix} -b\\b\\-2b-d\\d \end{pmatrix} \)
Somit wäre doch die Basis von Kern(f) = {\( \begin{pmatrix} -1\\1\\-2\\0 \end{pmatrix} \); \( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \) }

Basis von Bild(f):
Ich weiss nicht, wie ich den Rechenweg angehen soll, aber ich denke, dass die Basis B = {1+T, T^2} eine Basis sein könnte. Ich kann das Polynom wie folgt darstellen: x+xT +yT^2, welches wiederum mit der gefundenen Basis B zusammengebaut werden kann.

Frage:
1. Ist meine Basis von Kern(f) richtig und der Weg dorthin nachvollziehbar?
2. Ist meine Basis von Bild(f) richtig und wie hätte ich diese durch einen geeigneten Rechenweg gefunden?

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Mach mal die Probe: Setze den 1. Kern-Bssis-Vektor in die Vleichungen I und II ein

1 Antwort

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Beste Antwort

II: c = -2b-d

stimmt nicht. Das gibt c=-d.

Wegen dim(Kern)=2 und dim(M22(R) ) = 4

ist dim(Bild)=2. Also ist jedes Erzeugendensystem

mit 2 Elementen eine Basis .

(a+b)+(a+b)T+(a+b+c+d)T2 =(a+b)*(1+T+T^2) + (c+d)*T^2

also wäre 1+T+T^2, T^2 jedenfalls eine, aber auch

1+T, T^2

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