Wie löst man das Integral?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \limits_{0}^{2+\sin t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \)

Problem/Ansatz:

Wie löst man das Integral? Ist das eine Art Substitution?

Answer 1

Sei \(F\) eine Stammfunktion von \(f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\), dann ist

        \(\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \limits_{0}^{2+\sin t} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{d} x \\=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(F(2+\sin t) - F(0))\\=&\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}F(2+\sin t) \\=& f(2+\sin t)\cdot \cos t\\=&\mathrm{e}^{-(2+\sin t)^2}\cdot \cos t\end{aligned}\).

Die Idee ist also, das Integral nicht zu lösen.

Comments

Wozu lernt man eine Kettenregel wenn man sie nicht benutzt ?

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Ah Vielen Dank. Da war ich scheinbar blind. Ich wusste dass e^-x^2 keine stammfunktion hat. Den Trick merke ich mir!

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Auf wen war das jetzt bezogen @hj2166.

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Ich wusste dass e^-x2 keine stammfunktion hat.

Die Funktion

        \(f(x) = e^{-x^2}\)

hat die Stammfunktion

        \(F(x) = \int_{0}^x e^{-t^2} \mathrm{d}t\).

Es lediglich etwas kompliziert, diese ohne Integral anzugeben.

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Auf wen war das jetzt bezogen

Auf oswald, er hat's gemerkt.